Problâme. Chercher ks valeurs maxima et minimade

^expression.

Cherchons d*abord la dérivée y' de y; on a, d'après la règle donnée (i21) :

^,(2a?— 5)(a?'+a?-fl)— (2y+l)(a?'— 5a?+6)6a?*— lOrr— 11 Le dénominateur de y' étant positif, le signe de cette dérivée

122 UVR£ il.

sera celui de (6a^ — lOâ; — 11). Or, ce trincHne est négatif, quand x est compris entre les racines de Féqnaliaii

[1] 6rr* — lOo?— 11 = 0,

et il est positif dans le cas contraire. Les deux racines de l'équation [1] sont:

5qz\/9Î a?— g ;

C'est-à-dire ( a/ =-0,75656 53357,

cesi a aire, ^ ^^ 2,42323 20024;

les valeurs correspondantes de y sont :

c'est-à-dire, { ^/Z

On Toit que la fonction y, qui ne devient pas infinie, puisque (x* -)-â?-j- 1} ne peut être nul, et qui est par conséquent continue, est croissante, lorsque x varie de — oo k x'; elle décroît ensuite, lorsque x varie de x' à af^ pour augmenter indéfiniment, quand x augmente à partir de la valeur a^. Elle atteint son maximum pour x=x^^ei son minimum pour x=^sf.

On voit, d'ailleurs, que, pour des valeurs très-grandes de x^ la fonction dlflère peu de l'unité ; car, en remidagant, pour de telles valeurs, le numérateur et le dénominateur par leun premiers termes, qui sont égaux, l'erreur relative commise sur l'un et sur l'autre, et par suite, sur le quotient, est évidemment très-petite.

En résumé, la marche de la fonction est indiquée par le tableau suivant :

x^=xr = ^

THÉORIE DES DÉRIVÉES. 0,75656. . ., y = 12,69292. . • maiimum,

X = 2,42323. . . ^ y = — 0,02626 » • « miniiniim y

146. Cas où la fonction devient discontinue. Les fondions considérées précédemment sont continues, et les théorèmes dé* montrés (140, 141) s'y appliquent sans difficulté. Mais il n'en est pas toujours ainsi ; et il faut alors avoir soin d'examiner à part les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction change brusquement de valeur. La considération de la dérivée ne suffit plus alors pour étudier les variations de la fbnction.

Soity par exemple, la fonction

g?*— 2ar4"7

On voit immédiatement que cette fonction est diicontintie pour les valeurs â;= 3 et «== 5^ qui annulent le dénominatenr; et, par conséquent, on ne pourra appliquer les théorèmes de la théorie des dérivées, que pour des valeurs de 9 variant entre des limites qui ne comprennent pas l'un des nombres S et 6« On a, en prenant la dérivée de y :

, — 6a?'+16a;-f26 * (a?' — Sa? +15)» '

Si Ton résout l'équation,

— 6rc»+ 16a? + 26=0,

on troove :

et, par suite,