Fv/55 X

a?' = —1,13873 28290, a/'rs 3,80539 94957;

^TiSUi|l^. !'■.

124 LlVnE il.

les valeurs correspondantes de y sont :

l y, = 0.hl619 84871, *"• [ y, = — 14,41619 84871.

Par suite, y* est négatif, tant que x est compris entre — » et x', positiT pour les valeurs de x comprises entre £* et a;* ; et il rede-j vient négatif, pour x plus grand que sf. D'après cela, on deirafl conclure (140) que y dëcrotl, lorsque x varie dans le premi«| intervalle, qu'il augmente dans le second, et qu'il diminue daru le troisième. Hais, pour les raisons indiquées plus haut, ces conclusions cessent d'être exactes, à cause de la discontinuité de y.

y diminue, en effet, quand x varie de — « à c* : car, dans cet intervalle, la fonction est continue, et la dérivée est n^ative.

Lorsque x varie de x* à 3, v augmente ; il devient infini pour 2 = 3; puis il passe brusquement à la valeur — oo, et augmente de nouveau jusqu'à j; = a;', valeur pour laquelle y est maximum. A partir de la valeur x", y diminue jusqu'à ce que l'on ait iT = 5, valeur pour laquelle y est — <x> ; puis cette fonction passe brusquement à la valeur -\-», e\ diminue ensuite sans cesse, à mesure que x devient de plus en plus grand.

Si l'on remarque, comme plus haut, que, pour des valeun très-grandes de x, positives ou négatives, y diffère peu de l'unité, on pourra représenter les conclusions qui précèdent par le tableau suivant; et l'on se fera facilement une idée de la marche de la fonction, qui, dans chaque intervalle, varie toqjonrs dans ic sens.

t/=0,41619... miDimami

iF= 0,

y = — 14,41619... maximam

i THËOniE DES DÉKIVËES. IS

I $ 1IT. ApplJcalion des dérivées à la dëtemiinalion des valears dea I fonctioDs qui M prêseotent sous une forme indétarmiDée.

[ 147. Cas oA uhk fonchon sk FRésErrrs sous la. roH Soit une fonction :

et supposons que, pour x = a, on ait, à la fois, f{a)

V {a) = 0;y se présente sous la forme ^r; et l'on peut se p

scr de déterminer la limite vers laquelle tend y, lorsque x vers a. Celle limite est ce qu'on appelle souvent, improprer la vraie valeur de y.

Puisque /(a) = 0, F (a) = 0, on a identiquement :

F(g)'"F(jj — F[a)~F(a:} — P(ffl)' X — a

Or, lorsque x tend vers a, les termes du rapport, dans le s( membre, tendent respectivement, et par déQnilion même, les dérivées /"(a) et F' (a). Donc, en prenant les limites des membres, on a, pour a: = a :

,. f(x) fia) ,. f(x) ,. r(x)

Donc si f'(x) et ¥'(x) ne sont ni nulles ni infinies, pour a; la vraie valeur de j tst la voieur du quotient des dérivées ■ deux termes.

148. KiBicPLES. I« Vraie valeur de --^^- , pourir = i , et la limite est ma"-'.