S6 UTI
soua la forme ^ ^ e'est^-dire que l'on ait /* (a) = w , F (a) s ea . On a ideotiqaeiiietit :
S7— , et 77—. sont nuls : donc la vraie valeur de
sera la limite du quotient des dérivées (147). t:
de 1/ n'est ni nulle ni infinie, et qu'on U dëura, pour la déterminer:
„rw
remîer cas (147).
y est 0, le raisoDDemeDt précédent ne s'apalors on remarque que, h désignant one con-
/■(!)+ tn»)
anr x = a, et que sa vraie valeur est h, puisque,
et l'on a :
f(a) + tF(a) rW I ,.
= 0, «. lim^=o = Umfa.
t encore la limite du rapport des dériTées.
TBÉORIE DES DÉRIVÉES. n en sendt encore de même, &i la limite de y i si 5-^= « . il en résulte que t~| = 0; par si
ce qnî précède, 7^7-! = 0, et, par coQséqueot, L / W '
100. Cas ot une FONcnoH se présente sons lj Si Ton a on produit y = f{x)>zf{s), et que, \ trooTa Hà}= 0, F(a) = <» , ou 6crit :
et l'on applique les règles précédentes ; car, soi forme, y devient', et il defienl ^ sous la secoue
Ittl. Cas od (jhb roncnoti sb présents sods SoUla&mctiou
et supposûBs que F (o) = 0, et/(aj = 0. Si Ton j rithmes des deux membres, on a :
Si ToD peut trtniver la limite do produit /"(s) x I règle (ittO), on aura celle de log y, et par suite <
Isa. Cas où a = « . La démonslralîon des règ suppose que a a une valeur unie. Mais on peut p ment que les règles subsistent, lorsque la form<
résulte de l'hypotliëse g=a>. Soit, par exemple
foncUoD qui, pour a; =(», prend la forme g. noosauroBs:
KD'
Or, pour X— <e , on a x = 0. On peut donc appliquer la règle !t l'on a :
V=:Uin — ' L— ■ = lim — rr^^liin
falltiit démontrer. Seulement il faudra 8'assurer, ardnl [uer les règles, que b-W cl ett-t tendent hien Ters une léterminée, quand w tend vers «> . Par exemple, l'ex-
g + cos g œ — ' siu X '
idemment vers 1, quand x tend vers co : tandis que le des dérivées l — a une limite complètement îndé-
Rehahqub. II peut arriver qu'en appliquant les règles nies, on rencontre des dérivées qui présentent toujours le indétermination que la Tonction dont on cherche h ileur. Dans ce cas on est obligé de recourir ft des artirticuliers (voy. la l" partie, n" S40 et suiv.). Ce qu'il y is souvent, de mieux à faire, dans ce cas, c'est de remc par a-^h, d'effectuer les réductions, et de poser en- = 0.
par exemple, y := ;, ; elle devient - pour s = <■,
iij3? — a' 0
érirées de ses deux termes deviennent toutes infinies. \a\x=a-\'h, on a:
1/ , ou ■ 1 , ou i(
^/2aA+A' Ai{2a+/i)ï (So+Aj*
cette forme, on voit que la limite est zéro, quand A tend
THfiORIE DES DÉRIVÉES. 129
S lY. Retour de la dériyée à la fonction primitive.
154. Th^orèbœ, Deux fonctions^ qui ont des dérivées égales^ ne peuverU différer que par une constante. SI deux fonctions ont des dérlYëes ^ales, leur différence a évidemment pour dérivée 0. Il suffit donc, pour prouver le théorème énoncé, de faire voir qu'une fonction^ dont la dérivée est niUlef est nécessairemnt constante»
Soit ¥{x, une fonction dont la dérivée soit nulle. Considérons les fractions suivantes :
[11 {¥(x + Zh) — ¥(x + 2h)
¥(x+nh) — ¥[x+{n—\)h']
Supposons que, h tendant vers zéro, n augmente de telle manière, que le produit nh conserve une valeur constante k. Les seconds membres ei, E2,...en tendront tous vers zéro; car, par hypothèse, le rapport de l'accroissement de la fonction à Taccroissement infiniment petit de la variable a toujours zéro pour limite. En chassant les dénominateurs des équations [1], et ajoutant ensuite ces équations, il vient :
et, en nommant y\ le plus grand des nombres «i, Ci,...e«, en valeur absolue,
¥{x + ft) — F (x) <,nr,h <7ift.
Or, les quantités cj, e,,...8„ tendant toutes vers zéro, la plus grande d'entre elles ti peut devenir aussi petite que l'on veut; et, par suite, la différence fixe^ F(a?+&) — F(a?), ne peut différer de zéro. Deux valeurs quelconques de ¥{x) sont donc égales entre elles; et la fonction est constante.
Alg. sp. B 9
TOeORIE DES DËRIYÉES.
tang' i X tang \ i'
La foncUoD demandée est, par conséquent, L tang j x.
s* Quelle est la fonction dont la dérivée est -;
\ On.: ' =1-2-,,
la fonction demandée est donc - arc tang -. a ° a
g* Quelle «st la fonction qui a pour dérivée ~t
On a: ï^=i.L«;
donc la fonction est^ (I^J'>
10* Quelle est la fonction qui a pour dérivée -p T
0"V ÏLÏ=Li'
et, par conséquent, la fonction demandée est LLr.
Nous nous boroerons à ces exemples, ne pouvant indique aucune des méthodes que l'on emploie, pour résoudre le \ blême, dans des cas nn peu moins faciles.
138. Définition du fanctions croiisaDtes ondécroissaDlM. — 140. Co lion pooT qu'âne fonction soit croiE<ante ou décroisianle.-- 141 . C(
chant si cette fonction peut prendre deux fois la même valeur pour des valeurs différentes m et « de la variable.
m. Un point lumineux, placé sur une droite verticale, éclaire une portion
très-petite d'un plan horizontal, située à une distance d de la droite verticale :
étudier les variations de la quantité de lumière reçue, lorsque la hauteur % du
point lumineux varie.
d Le maximum a lieu, lorsque «= "!=•
IV. Un tronc de pyramide régulière, à hases octogonales, est circonscrit à une sphère, de rayon donné r. Étudier la variation du volume, lorsque varie Tincliûaison des fiices latérales sur les hases.
Le minimum a lieu , lorsque le tronc devient un prisme.
Y. Une ligne droite, de longueur donnée 3a est courhée en arc de cercle^ de rayon variable : étudier la variation de Taire du segment compns entre Tare et sa corde.
Le maximum a lieu, lorsque Tare forme une demi-circonférence.
TI. Trouver la vraie valeur de (1— s) tang — pour «= 1 .
On trouve - .
VU. Trouver la vraie valeur de «"r' pour «=oo.
On trouve zéro.
Yin. Trouver la vraie valeur de ^ pour s =co.
On trouve Tunité.
