CHAPITRE III

n SESTENT AU CALCUL DES LOGABITBHEB ET DU NOMBRE ic.

Siriw qii aectent tn calcul du logariUmm.

LopPKMEKT EH SÉRIE DB — L{l — u). Soiticunevaïus feroDS Tarier depuis a; = 0 josqa'à «^ u, u désiinstante positive et moindre que 1. Posons :

nx) = -h{l-x),

signant, comme dans le chapitre précédent, an lo-

périen : la dérJTêe de f{x) est.-;^) et l'on a évi-

I s'en assure, soit en faisant la division, soit en somaiére partie du second membre, & l'aide de la Ihéo-

I f (x), désignée, suivant rhabitude, par ip' (x), sera la première partie de /*(^; et l'on aora :

f '(œ) = 1 + JF -he* + •"• +<^*' ■ hant l'équation [4] de l'équation [S], il rient :

THÉORIB DU BSR1Y£ES. 135

Le second membre de celte équation est positif et moindre que- ,tant que a? n'est pas égal à w; on a donc :

Ces inégalités montrent (l^iO), que les folictioM f{w)^^ {x)et f{x) — <p(a?)— . 1 i\/i p\> s^^*> ^^ première croissante, la

deuxième décroissante, quand x croit de 0 à u. En effet, les deux fonctions sont continues; et la première a une dérivée constamment positive, tandis que la seconde a une dérivée constamment négative.

D'ailleurs, les deux fonctions dont il s'agit sont nulles pour a; = 0; donc, pour 93= t», la première est positive, et la seconde est négative.

On a, par conséquent :

ti*+*

yr(^)^(^,)_____<0;

f{u) est donc compris entre f (w) et 9 (tf)+. 4,1 wi y ^ *ï est, par suite, égal à 9 {u), augmenté d'une quantité moindre que ( 4-iUi— ^* ^®^^® quantité peut, évidemment se représenter par 0 ... i» en désignant par 6 un nombre positif iaférienr à rmité. On a donc enfla :

c'est-&-dire.

ti* , u" . n* . ^ u*"*"*

u étant, comme oa Ta supposé, inférieur à Tuaité, on veit que

que la série, qui forme le )rsqae u est plus petit que *e des règles démoDtrées

i. Soit X une variable, que etu, u désignant une COD- I :

ividemment :

itndle, par f ' (s) la dérifée

-....itir-'.

Lcune des éqnaUoils [S], on

(ioDB sont de signes coih foactioiis f(9) — f (s} et

sont riine croissante. Vautre décroissante, quasd as crol 0 àu; el, comme elles sont nulles pour a:=0, elles sont, x=w, de ùgnes contraires; et/ (u)est, par conséquent, coi; enlre

tCu) et ç(u)zF^^.

On a doDC, eo désignant par 0 un nombre positif moi que 1 :

et, parsoite, comme— ^i;-? tend vers zéro, lorsque n augm

Nous remarquerons, comme & ta fin de l'article précéi que la démonstration même de la formule [h'\ prouve qi série, qui forme le second membre, est convergente, lorsrj est moindre que 1 .

La démonstration pourrait même se faire, sans modiOcat N l'on avait u=l; et la série précédente peut donner, par . sëquent, le logarithme népérien de S,

IttO. FonmiLE pour uc calcul des logasithiibs mbiRi Reprenons les deux formules :

ombres positiis queld on connaU LN.

LRBÈTAHT A ON CERTilS

Dtibre de l'équation [£], -jjgjl, rerreur Mm-

(iN^)'+....].

W+Ty

THEORIE DBS DÉRIVÉES. 139

En particnlier^ si l'on néglige, dans la eérie, toas les termes qui suivent le premier, et que l'on écrÏTft simpi

renreor commise sera moindre qoe A»

6M(N+A)(2N +/»)*■ et, à plas forte raison, moindre que I /A\'

100, GAtcuL DE LlO. Le module du système verse du logarithme népérien de 10. Il est iu naître ce nombre. Pour le calculer, on cherc Or on a :

En faisant N=I, h=l, daus la formule (e), oi

./l, 1, 1 , 1 , 1, i-a -2 (^2 -t-âTâri- 53» -1-7:35-1-9731+7

Pois, en Élisant N=4, h=l, dans la même fo: quant que L4=SL3, on a ;

Par conséquent,

OQ, en faisant passer les coefBcients de cbaqae série aaz mimérateurs, et simplifiant :

Icule d'abord les nombres^ — „ ^i Ti> — ■ dont mième do précédent. On a ainsi :

^ =3 0,SSSSa 22222 2SSSS 22222 22 •^=0^02469 13580 24691 85803 47 Xs 0,00274 84B42 24965 70644 72, ^s0,00030 48315 80551 74516 OS ^=0,00003 38701 75616 86057 34 ^ = 0,00000 37633 52846 31784 15 ^s: 0,00000 04181 50316 35753 79 ^ s 0,00000 00464 61146 35083 75 ^ = 0,00000 00051 6S349 58342 64

-=j=: 0,00000 00000 07081 kï2Zi