OOOOO
4 = 0,00000 OOOOO OOOOO 1199 4 = 0,00000 OOOOO OOOOO 0133 4 = 0,00000 OOOOO OOOOO 0014 4=0,00000 OOOOO OOOOO 0001 - |-= 0,00000 OOOOO OOOOO oooc
4 = 0,00000 OOOOO OOOOO oooc On forme ensuite les termes de la première
UYAE II.
respectivement les nombres ainsi obtenus par 3, 5, 7. • • On a
ainsi :
0,07407 40740 74074 07407 41 0,00493 82716 04938 27160 49 0,00039 19263 17852 24377 82 0,00003 38701 75616 86057 34 0.00000 30791 06874 26005 21 0,00000 02894 88680 48598 78 0,00000 00278 76687 75050 25 0,00000 00027 33008 60299 04 0,00000 00002 71702 60965 40 0,00000 00000 27314 01895 99 0,00000 00000 02770 98743 07 0,00000 QOOOO 00283 25649 29 0,00000 00000 00029 14161 45 0,00000 00000 00003 01464 98 0,00000 00000 00000 31335 07 0,00000 00000 00000 03270 66 0,00000 00000 00000 00342 64 0,00000 00000 00500 00036 01 0,00000 00000 00000 00003 79 0,00000 00000 00000 00000 40 0,00000 00000 00000 00000 04 S,07944 15416 79635 92825 13=3L2.
On forme de même les termes de la seconde série; et Ton a :
THEORIE DM BËftlYËtS.
Puis on ajoute tes deuxr^ïsultats; ce qui donne :
On en conclut, par division, que le module des loi vulgaires est :
j|L loge =:^ = 0,43429 44819 03251 8i
161. Calcul des logarithmes vulgaires. Pour ol logarithmes vulgaires, c'est-à-dire les logarithmes dai tëme dont la base est lo, il faut multiplier les logarithn
riens parle facteur |-rr;, dontnousvenons de trouver
On pourra aussi ralculer immédiatement les logarill remarquant que, si l'on désigne ce module par M, emploie la notation log. pour indiquer ces logarithmes ^ la formule [c] devient :
log{N-|-h)— logN=aM (
Si l'on suppose h=^ l, cette formule devient :
in log(N + .)-logN = |5|^ + l,^5i»^.+
C'est la formule employée par les calculateurs, qui ont les tables dont on fait usage. On calcule seulement rithmes des nombres premiers; les autres s'ûbtiennei additions. Les premiers calculs sont laborieux : mais, arrive à 101, deux termes de la série suffisent pour ol logarithme avec huit décimales; et lorsqu'on dépassa premier terme sufût.
S II. Séries qnî gervent au calcul du nombre n.
162. DÉvELOPPEMEBT DE BfC taog «. Soil X Une vari nous supposons comprise entre 0 et une limite consta rérieure on égale & l'unité.
nt celai qui s'annule avec x, et qui varie ensuite ère continue avec cette variable. Noos aurons :
aent, la dlÉférence f{x)—^'(x) est constamoieat polindre que a^. On peut donc écrire :
f'(x)~~if'{x) — a^<:o; i, la fonction f{x)~tf(x) est croissante, et la toncf ^"^ ~ ln+ i *^' ^décroissante, lorsque x varie de 0 îs deux fondions sont nulles, pour a; = 0. La pre- )nc positive, et la seconde négative, pour x=v\ en
[«) est compris entre y(«) et î{u) + r^'7'-. Et l'on , en désignant par 6 un coefâcient positif moindre
THÉORIE DES DBRIVÉES.
une grande raie est aussi petit qae I'od veut, on a :
[g] arctangu==o— j -\-~ ~j +——....
Les deux membres de la formule changeant de signe are celle-ci s'applique éridemment aux valeurs de u compi entre — 1 et + I.
165. Cas od u EST PLtis grand que l'unité. Si l'on don une tangente u plus grande que l'unité, la série, qui donne 1 correspondant, devenant divergente, ne serait plus d'au usage; mais on pourrait fecilement calculer l'arc demandé
cherchant à sa place arc tang -, qui en est évidemment le ci
plément, et qui sera formé par une série convergente.
Soit, par exemple, & trouver arc tang <i,4934l ; on fera tu de la formule :
--arctangu=arclaiig-=--— ,+ — .-^-H...
Pour calculer les termes successifs de cette série, on fbni d'abord les fractions -, -i, !,.•.; ce qui sera facile, chac s'obtenant en divisant ia précédente par le diviseur 0xe U* = 20,19073 34381;
on aura ainsi :
UYREn.
-.ss 0,00000 13391 07902 4 = 0,00000 00663 82895 4i = 0,00000 00032 84819
^sO,00000 00000 08058
oSiî
JL = 0,00000 00000 00399
= 0,00900 00000 OOOiO
l'onenconclara:
-ir= 0,00000, 01487 89767 9u* * *
13tt**
llu"
donc : arc cotang (4,49341) = + 0,22265 64623 16471
OU
arc cotang (4,49341) =0,21897 94968 94113.
THÉORIE DES DËRIVÉES. 147
Puis : arc tang (4,49341) = - — arc cotang (4,49341)
OU arc tang (4,49341) = 1,35181 68299 00784.
IB4. Galctjl du rapport pe la circonférence au diamètre. Si, dans la formule démontrée (161), on suppose u= 1, Tare
dont la tangente est u, est égal à ^» et Ton a :
Cette série est convergente ; mais les termes décroissent trop lentement pour qu*on puisse facilement remployer au calcul du nombre ir.
On peut obtenir d'autres expressions, qui condvdsent rapidement à des valeurs très-approchées de ce nombre. Posons ;
arc tang a? = p, arc tang y = g;
on aura : x = tang p^ y = tang ^,
o y^ 1 ^/ i — tangplangg 1 — xy*
donc : arc tang x -\- arc tang y = arc tang . .
On trouverait de même :
arc tang x — arc tang y = arc tang . ~J^ •
