CHAPITRE PREMIER

PBINCIPE8 GÉNËRAUX SUR LES EQUATIONS NUMEBIQUES

DE BEGRÉ QUELCONQUE.

S L Variations d'une fonction entière f{x),

165. Forme générale d'une fonction entière. La forme la plus générale, que puisse présenter une fonction entière de. x^ f{x), est la suiYante :

/(a?)= A«"+ Aïo;*-* + AiX"^*+ .... + A,H-i»+ A

Mf

A, Ai....A«i désignant des coeflQcients constants, et m le degré de la fonction.

Lorsque x varie, ce polynôme peut changer de signe, en suivant des lois d'accroissement ou de décroissement, très-yariables avec la valeur et les signes des coefficients. Il existe cependant quelques principes généraux qui, pour être presque complètement évidents, n*en sont pas moins très-utiles à signaler d'une manière toute spéciale.

166. Théorème L Toute fonction ^ entière et rationnelle , iunie variable x , est une fonction continue. Cest-<^ire que; si Von fait croître la variable cdme manière continue^ la fonction variera aussi Sune manière continue^ et ne pourra pas passer d'une valeur à une aiare sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Pour prouver qu'une fonction f{x) est continue, il suffit de faire voir qu'en donnant à â; un accroissement h suffisamment petit, l'accroissement /(a; 4- ^)—/t^} de i& fonction pourra être aussi petit qu'on le voudra.

ibk LIVRE m.

Or on sait qne le rapport

a pour limite, quand h tend vers zéro, la dérivée de /{x). qui est :

Ht une quantité qui tend vers téro avec A. On en tire :

{x), n'ayant pas de déaomipateurs qai puissent s'annoler, infini pour aucune valeur de x; le produit A[/*(s)-|-«] tend : nécessairement vers zéro avec h; et^ par suite, il eu est lème ief{x + h)—f{x); ce qui démontre la proposition

icée.

17. Reicarque. La démonstration s'applique évidenunent à ! fonction dont la dêriTée est finie ; et l'on peut énoncer ce rëme plus général :

le ^motion rem «onitnue tant «m m «IMMb m dment jm» û.