ç(«) = ç'ir («— D+ Ç (a^— 1 Ox» + 36i

ç'(ir)=S(3iW-5)(a!^I0^+3«iB^70»+75)+7»(3^^-to*+l I

jc*— I0ir»+36a:'— 7ûit+75 = («»— 5a;'+lla:— 15)(:

Le produit des iïtcteurs, communs aux deux polynômes donc:

a:*— Sj^+IU — 15.

Si Dons divisons ce produit par sa dérivée, après l'avû tiplié par 3, nous trouvons :

3ir*— I5a!»4-33J!— 45 [ 33!*— lOl+Jl

OU, en multipliant de nouveau par 3,

en suppnmant le facteur 16, le dernier reste peut être rei par (»— 5); sans avoir besoin de continuer l'opération, cette simplification, on voit que (3x* — l(te+ll)n'estpasdi par (x—b); car il ne s'annule pas pour *=+5. Le co,

jr(** — 5a!*+Ils— 15)eDtre<p{a;)et sa dérivée, n'a donc ! facteurs multiples; et.par suite, f (x) a seulement trois s doubles, dont les valeurs sont les racines de l'ém :

JE»— 5«»+lla!— 15=0.

RÉsani,

)éGiiiUoD du plus grand commun diviseur de deux polynômes. — . Uoyen de l'oblenir, par un procédé snalogne & celui que l'on soit deux nombres. — 188. Bemarque impartante sur l'iDlrodaclion i suppression des racteurs numériques , dans le cours des dÏTisioas ectuer. — 188. Quelques exemples. — 200. Recherche des racines nunes à deux équations. — SOI. But de la théorie des racines !s. — 202. Coudition nécessaire et sufËsanta pour qu'une équation Bile n fois [a racine ii. ^^ 203. Autre forme de celte condition. — , Produit des [acteurs communs au premier membre d'une éqaatim sa dérivée; règle pour décider, si une équation a des racines égales. OS. Réduction d'une équation, qui a des racines multiples, à plors autres qui n'en ont pas. — 206. Quelques eiemples<

EXERCICES

^composer en bcleurs le polynôme

jcomposer en facteurs le polynôme

romt m = (' + l)'{x~2)*.

iiécomposer en facteurs le polynôme

/■[«)=*<-a4i' + 3ï»' + 14*i'-384« + îS6. ^)uve f(i) = {i + 4)'(*-î)*.

«composer en Etcleurs le polynôme

/(«) = a' + 2*« + 3a;' — *"— 8*» — laei-lî!— 4. ouve rW = {*'+'r + 3)'(«+I)(«»-i-l)

Y. Décomposer en facteurs le polynôme

On trouve /(«)=(« — !)»(« + 2)" (« — 3).

VI. P et 0 désignant deux polynômes en â?, à coefficients réels ou imaginaires, qui n'ont aucun facteur commun, et V, (y, représentant leurs dérivées : si Péquation P + Q'=0 admet une racine double , cette racine, réelle ou imagi* naire, appartiendra à l'équation P^4-0^=0.

Exemple :

P=ajJ— 1, Q=2«, P» + Q»= («« + !)», P^ + (y» = 4(«»+l).

on's*appuie sur Tidentité :

(P4-QV=1)(p-Q v'=n) = P» + 0».

VII. Si a est nfois racine de l'équation 9(a?) = 0, il sera (n^ 1) fois racine de l'équation qu'on obtient, en multipliant les termes de la proposée, supposée complète, par les termes successifs d'une progression aritbmétiqafl.

On s'appuie sur le théorème (308).

Alg. sp. B. 13

GHÀPiTRE IT.

DES RACINES G0HHEIV8URABLES.

S T. Des limiteB des racines.

807. DÉFINITION. On appelle Ktnîie wpMeure des racines po* sitives d*une équation, tout nombre plus grand que la plus grande des racines positives; limite infirieurej tout nombre plus petit que la plus petite d'entre elles.

On nomme limi:» inférieure des racines négatives tout nombre plus petit que la plus petite des racines négatives; limite supérieure^ tout nombre plus grand que la plus grande d*eDtre elles.

Lorsqu'on a à résoudre une équation numérique, il est utile de connaître les limites de ses racines. Voici quelques régies à cet égard.