Pemiâre règle. Si, dans v/ne iqwuion^ de degré n

0;*+ Aia^*+ A«a;*"*+ . . . +A«-|ic-}- A«=0,

la vdUur absolue du plus grand coef/icierU négatif est Hy et si n est la différence entre le degré de F équation et celui du premier terme

négatif y 1 -f- y N e^f une limite supérieure des racines positives.

En effet, si Ton substitue à a;, un nombre i, tel que, pour cette valeur et pour toute valeur plus grande, le premier membre de l'équation reste constamment positif, l sera évidemment une limite supérieure des racines positives. Or, pour satisfaire à cette condition, il suffit évidemment de choisir /, de manière à vérifier l'inégalité

II] î»*— N(af^+aj«-*-«+.,. + ir+l)>0;

car nouB avons supprimé, d'une part, tous les termes positifs qui pouvaient exister entre af et af^i et nousavons, de l'autre,

THËORIE GËNÉRALE DES ÉQUATIONS. 195

remplacé, dans tous les termes suivants, chaque coefficient par — N. L'inégaUté[l] équivaut à

ou à [2J aj-Ca?— 1) — N(a?"^*^— 1)>0,

parce qu'on peut toujours supposer a; > 1 . Or cette dernière inégalité sera vérifiée, si Ton satisfait à cette autre,

£3] $r{9 — 1) -^ Na?*-** >0,

que Ton obtient en diminuant le premier membre. D'ailleurs, en divisant par af»-*+* les deux membres de l'inégalité [3], celle-ci devient :

et elle sera vérifiée, si l'on a :

(a?i)'^i(aj— 1)— N>0, ou (a?— I)* — N>0. U suIBra donc de choisir a?, de manière à vérifler l'inégalilé

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si le premier terme négatif est le terme en ar^, on a n = l ; et la limite devient, dans ce cas, 1 -f-N.

S09. Deuxièice règle, donnée par Newton. Toux nombre I, qui rmd positifs le premier membre d'une égucUion f (x) = 0 e^ toutes ses dérivées j est u/ne limite supérieure des racines positives.

En effet, si l'on diminue de l chacune des racines de l'équation, en posant y = a? — /, ou a?=i + y, l'équation devient;

Or, par hypothèse, tous les coefficients /(Q, f*(l) , /^(/) . • . /*(/) sont positifs ; aucun nombre positif, substitué à y, ne peut donc vérifier cette équation, qui n'a, par conséquent, pas de racines positives. En d'autres termes, toutes les racines réelles sont

196 UYAE m.

négatives ; ; et , par suite, loute valeur réelle de x est plus petite que !• C'est ce qu*il fallait démontrer.

Pour appliquer cette règle, on range les fonctions dans Tordre suivant :

r{x), r^Kx), f^\x), ...f {X), f{x) ;

comme p*{x) est égal à 1.2.3.. .m, et est, par suite, toujours positif, on choisit d'abord le plus petit nombre entier qui rend positif /""K^)- On substitue ce nombre dans f^^ix) ; et, s'il le rend négatif, on l'augmente d'une ou de plusieurs unités, jusqa*& ce que f^\x) devienne positif. Puis on substitue le nouveau nombre dans f^Çx) ; et l'on fait en sorte, en l'augmentant si cela est nécessaire, que t^^{x) prenne à son tour une valeur positive. On continue ainsi pour toutes les fonctions jusqu'à f{x). Le nombre l qui, après toutes ces substitutions, rend f[x) positive, est le nombre cherché.

Supposons, en effet, qu'un nombre a, obtenu par cette méthode, rende positife r*~*(^)f r"~*(^)> • • • f^^)* il est facile de voir que le même nombre, augmenté d'un nombre quelconque h d'unités, ne cessera pas de rendre positives les mêmes fonctions. II suCQt, pour le prouver, de remarquer que l'on a^ en général :

et, si /*(a), f^\a)^ /*^»(a)..., sont positifs, comme h est aussi positif, il en résulte que /»(a + h) est nécessairement positif. Eu faisant p = m — 1 , on reconnaîtra d'abord que, /'*~^(a) étant positif, il en sera de même de r*~*(a + h). Puis, en faisant P=tn— 2, enverra que /*-"(a) et f*-*(a) étant positifs, il en sera de même de /•-•(a + h)^ et ainsi de suite.

810. Troisième méthode. On peut enfin, en partageant le premier membre de l'équation en gi'oupes de plusieurs termes, déterminer une limite supérieure des racines. Soit, par exemple, l'équation :

rB» + 7«»— 12«"—49»" + 52a?— 13 = 0.

Groupons les termes de la manière suivaDte :

aj«{a;»—12) + 7i»{a!' — 7)4-52 (a:-i)=0.

Il est évident qoe le nombre 4, substitué à x, rendant positif cbacun des groupes, est une limite supérieure des racines. De même, les termes de l'équation

peuvent se grouper ainsi :

ip'Ca;* — 5a! + 7) + 30œ ^jt — ^\ + 39 = 0.

Or le trinôme x* — hx + T, ayant ses racines imaginaires, est positif, quel que soit a:; d'ailleurs le second groupe est positif pour 2 = 1; donc 1 est une limite supérieure des racines.

Oa voit que l'artiQce consiste à disposer les termes, de manière que chaque groupe commence par un terme positif, et & chercher le plus petit eolier qui donne le signe -\- h chacun de ces groupes.

fill. RsHAitQUB. La première méthode aurait donné 1 -f- ^ ou 8 pour limite des racines de la première équation, et 1 -f- & ou 6 pour limite des racines de la seconde.

four appliquer à la première la méthode de Newton, on a:

/■(ar) =fl!' + 7ar'— ISiE'— 49a!' + 62x— 13 f(x) = 5a!* -f 28a:»— 36a!* — 98iB -f- 52 j^ r(a:) = lOa^ + 421" - 363! — W j-i^rW = 10»'+2&c-li j^n^J=5»+7

On voit que tout nombre positif rend /"(x} positif; que 1 reod positif /"(a^)! que 2 rend positif f{x) el f\x), et qu'enfin 3, qui rend posilii f{x), est une limite supérieure.

Pour appliquer la même méthode h la seconde, on a :

f{x) =jr'~5ic» + 37a;* — 31 + 39 ^a;) = 4a!» — 1 6a;> -f 74* — 3

On voit que i rend poaitifo f{x), ^'(f), /'(s), et f{x). Donc a est une limite supérieure.