loiOTK IHFÉMBURS DES RACINES POSITITKS. On pOSe

x — - dans l'équation, et l'on cherche une limite supérieure l

des racines de la transformée : il est évident que t- sera une limite inférieure des racines positives de la proposée. Car M l'on a

MITES. On pose »=— y, et ! et inférieure, I et t, des la- — i et — V seront les limites les négaliTes de la proposée.

» commenBurablei.

isais ré^liers et fort simples,

THÉORIE GÉNËRALE DES ËQUATIONS. 199

les racines commensurables d'une équation à coefficients commensurables.

Nous commencerons par montrer, que cette reéherche se ramène à celle des racines entières; et, pour cela, nous établirons le théorème suiTant :

Théorème. Vw iquatàoia dé la formé

[1] «•+Aia?"^*+Arf^»+.. .+A«=0,

dont le premier terme a pour coefficierU Funîté^ et dont les autres coefflcients sont entiers^ ne peut avoir de racine commensurable fractionnaire.

Si, en effet, ? est racine de Féquation [1], on a :

d'où l'on déduit, en multipliant tous les termes par fr*~^, et en faisant passer tous ceux qui suivent le premier dans le second membre :

Si l'on suppose, ce qui évidemment est permis, que la frao* tion -T ait été réduite h sa phis simple expression, a et 6 sont

premiers entre eux; la fraction -r- est, par conséquent, irréductible, et ne peut être égale & un nombre entier, n est donc impossible qu'elle soit égale au second membre, dont tous les termes sont entiers; et, par conséquent, il est impossible que

Téquation [1] admette une racine de la forme ?. Les seotes ra-cines commensurables, qu'elle pmsse avoir, sont donc entières;

Sltt. Corollaire. Une équation, à coefficients entiers, étant donnée, le théorème précédent permet de la transformer, de manière que toutes les racines commensurables deviennent entièreB«

200 UYRE 111.

Soit^ en efiet, Féquation

A«* + AïOf*-* + . . . + A««ia?+ A» = 0,

dans laquelle on peut supposer que A, Ai,... A. soient des nombres entiers; car il est toujours facile de chasser les dénominateurs, en multipliant tous les termes par leur plus petit

multiple commun. Posons â?=^, y étant une nouvelle inconnue qui, évidemment, devra satisfaire à l'équation :

^(À)"+*'(sr+-+A-=«î

ou, en multipliant les deux membres par A"^S

îr+Ai!/*-*+AîAy— » + ...+A,A— * = 0.

Or cette équation a ses coefflcients entiers, et le premier terme IT & pour coefficient Tunité; les valeurs commensurables de y sont donc toutes entières. Il est évident, d'ailleurs, qu'elles correspondent aux valeurs commensurables de x; car la relation

^=\9 prouve que, x étant commensurable, il en est de même

dey.

Si nous pouvons obtenir les racines entières de Téquation en y, d'après ce qui précède, nous aurons toutes les racines commensurables de l'équation en x.

&16, GOMDmONS NÉCESSAIRES ET SUFFISANTES POUR QU'UN NOM- BRE ENTIER SOIT RACINE D'uNE ÉQUATION A COEFFICIENTS ENTIERS.

Nous avons vu comment la recherche des racines commensurables peut se ramener à celle des racines entières. Il nous reste donc à montrer, comment on peut obtenir les racines entières d'une équation à coefficients entiers. Soit l'équation

[1] Aâf + Aiaf^*+A,a;-»+, . .+A«=0,

et c une de ses racines entières;. le premier membre doit être

divisible par {œ — «}• Représentons le quotient, qui est un polynôme du degré (m— 1), par

Pi9 Pt* . • Pa»-i sont évidemment des nombres entiers; car le premier terme du diviseur {x—a) ayant pour coefficient l'unité, la division ne peut introduire aucun dénominateur.

En écrivant que le dividende est le prodmt du diviseur par le quotient, on aura identiquement :

[21 (a;-«)(Aa^*+Piar-»+...+P«-tX+P^)

En effectuant les opérations indiquées dans le premier membre, et en égalant les coefficients des mêmes puissances de x, il vient:

P«-^ Pm-l* = A|i»-|

Pt-Pt« = At,

Pt — Aa = A,.

Tous les nombres, qui figurent dans ces formules, étant entiers, la première équation prouve que « doit être un des diviseurs de

A A«, et que le quotient — est égal à — P«i-i.

La seconde équation peut s'écrire :

elle prouve que « doit être un diviseur de la somiue A.»-! -) — -,

et que le quotient est — P«-«.

La troisième équation peut s'écrire :

Am-i-f

202 UVIiE 111.

Elle prouve que « doit être un dhiseur de la isomme fit^i -| , c'est-à-dire de la somme obtemie en ajou-

tant Â.,^ au quotient précédent, et que le quotiait e^ — P.

On peut continuer ainsi jusqu'à la dernière équation, qui prouvera que le dernier quotient — f%, augmenté de A^ doit être divisible par a, et donner pour quotient — A,.

Ces conditions sont nécessaires, rajoute qa*(dles sont suffisanteSi pour que « soit racine ; car, si elles sont remplies, on pourra trouver des nombres P»-i, P»^. . . Pi, qui rendent identiques les équations [3] ; et, par suite, le premier membre de la proposée sera divisible par (a?— «).

On peut remarquer que les opérations, à Taide desquelles ou s'assure qu'un nombre « est racine, font eomraftre les coefficients du quotient de la division du premier membre par {x — c). Ces coefficients P.^, P«^, . . . sont égaux, en effet, aux quotients, changés de signes, des différentes divisions, dont la réussite est nécessaire pour que le nombre « ne soit pas rejeté.

217. Recherche des racinbs entières. Il résulte de là que, pour trouver les racines entières d'une équation telle que [1], on devra chercher d'abord les diviseurs entiers, positifs ou négatifs, du dernier terme : eux seuls peuvent être radnes. On déterminera ensuite la limite supérieure des racines positives et la limite inférieure des racines négatives ; el l'on rejettera tous les diviseurs qui ne seront pas compris entre ces limites. Si a est un des diviseurs qiii restent, pour ressayer, on divisera le dernier terme A» par «, et Ton ajoutera au quotient le coefficient Âm.1 : la somme devra être divisible par «. On formera le quotient; on y ajoutera A»^ : la somme devra encore être divisible par a; et en continuant ainsi, on devra trouver un quotient qui, ajouté au coefficient du second terme, et divisé par «, dpnne pour dernier quotient — A.

818. Moyen de dibunuer le nobibre des essais. On peut diminuer le nombre des essais à faire par la remarque suivante. Si a est une racine de l'équation

[1] Aa?- + A,a?--« + A,a?"^ + . . . A« = 0 ,

THÉORIE GËNËRALE DES ËQUATIONS. 203

le premier membre de cette équation est divisible par (x — a); et les coeflGcieDts du quotient sont tous entiers, ainsi qu'on Ta exposé plus haut Si doiic on attribue à x une valeur entière quelconque, la valeur numérique du premier membre de [1] sera divisible par la valeur numérique de {x — a). Or les valeurs les plos simples, que l'on puisse attribuer à x^ sont 1 et -* 1. Si donc on nomme Q et Qi les valeurs correspondantes du premier membre de [1], on ne devra essayer «» que si, d'une part, Q est divisible par (1 —a), ou, en ebangeani k signe, par («— 1); et que si, d'autre part, Qi est divisible par (— 1 — a), ou, en changeant le signe, par (1 +>)•

2i9. Application de la méthode précédente. Voici la manière la plus avantageuse de disposer les cakute :

Aif Al, • • • Afii.29 ^»^u ^M

Afl».i, A» I

A, Pi^... P,

récris, sur une ligne horizontale, les coefficients de Féquation proposée, à partir du second, et dans une colonne, à droite, le divisenr à essayer a. Sur la même ligne que a, et en allant de droite & gauche, j'écris au-dessous de A», A»^ • • . , les quotients, changés de signes, P«.i, P»^ ..., calculés comme il a été dit (216). Si tous ces quotients sont entiers, et si, en outre, le nombre écrit sous Al, est + A, a est racine; et A, Pi, Pt . • . , P«»^ sont les coefficients de l'équation débarrassée de la racine a. Il n'y aura donc plus alors qu'à opérer sur cette seconde ligne comme sur la première. Si quelques-unes des divisions ne peuvent se faire, on passera à un autre diviseur.

KuaiPLE. /" (a?) = a;*— 2ic»— 19a;» + e&p — 60 ess 0.

S est racme

2 est racine

3 est racine — 5 est racine

60 admet S4 diviseurs; mais on trouve, par la règle de Newton, que toutes les racines sont comprises entre 4 et — 6. On ne doit donc essayer que les diviseurs de 60, plus petits que 4 et plus grands que — 6. On conmience par essayer + 1 et — 1, en les

substituant directement à la place de x : aucun d*enx n*est racine ; mais ce premier calcul nous apprend que f (!) = — 12, et que / ( — 1)= — 144. Dès lors on ne doit, parmi les divisean» positifs^ essayer que ceux qui, diminués de 1, divisent 12, et qui, augmentés de 1, divisent 144; et, parmi les diviseurs négatifs, on ne doit essayer que ceux dont la valeur absolue, augmentée de 1, divise 12, et, diminuée de 1, divise 144.

Le diviseur 2 satisfaisant à ces conditions, on ressaye : on trouve que 2 est racine, et que l'équation, débarrassée de cette

racine, est :

Gomme 2 divise 30, on ressaye de nouveau ; et Ton continue de la même manière, en n'opérant que sur les diviseurs qui satisfont aux conditions précédentes, et qui, en outre, divisent le terme tout connu de la dernière équation simplifiée.

Tout calcul fait, on trouve que Téquation proposée a pour racines S, S, 3, —5, et que son premier membre est égal à

RÉSUMÉ

207. Ce qu'on nomme limite supérieure ou inférieure des racines positives on négatives d^une équation. — 208, 209, 210. Diverses règles pour trouver une limite supérieure des racines. — 211. AppUcatioas. — 212. Limite inférieure des racines positives. — 215. Limites des racines négatives. — 214. Si le premier terme d'une équation a pour coefficient l'unité, et que les autres coefficients soient entiers, les racines commensurables sont toutes entières. — 21tS. Le théorème précédent permet de transformer une équation, à coefficients rationnels, en une autre dont les racines soient entières. — 216. Conditions nécessaires et suffisantes, pour qu*un nombre entier soit racine d'une équation à coefficients entiers. — 217. Recherche des racines entières. — 218. Théorème qui permet de diminuer le nombre des essais. — 218. Application de la méthode à un eiemple.

EXERCICES

l. Rechercher les racines commensurables des équations :

ai* — &s«—78a;*+499«<+172«»— 4269»»+ 1156» + 11320=0,

a;4 afS i3a.i + 16af— 48=0,

15»*-19ap< + 6«»+15»«— 19»+6=0,

«*— 13x* + 67«»— lTla;* + 216«-108=0.

IL Chercher les racines commensurables d'une équation , sans les ramener

p)*éa\ablement à être entières. Montrer, qu'en désignant par r une telle racine

réduite à sa plus simple expression, a doit être diviseur du dernier terme, et h dWiseur du coefficient du premier terme. Chercher par quels essais, analogues à

ceux qui ont été indiqués pour les racines entières, on peut Térifier que g est racine, m. Chercher si l'équation

jf»— (a4- 6 + ab)»> + a6(a + b + 1)«— oV— a>6= 0 admet des radnes exprimées rationnellement en a et h,

IV. Si une équation du troisième degré n'admet pas de racines commensurables, elle n'admet pas de racines multiples.

V. Le théorème précédent s'applique à une équation du cinquième degré, et oe s'applique pas à une équation du quatrième.