CHAPITRE
THEORÈHE SE 8TUE1I.
S&O. Le théoràme à la démoiistFaiion duqad est consacré ce chapitre donne le moyen d'obtenir exactement, et sans aucun tâtonnement, le nombre des racines réelles d'une équation comprises entre deux limites données quelconques.
Soit
(1) kar + A^ar-' + AéX"^^ + 4-A— ia?+Ai = 0.
Une équation numérique de degré quelconque n'ajnnt pas de racines multiples, on commencera par exécuter le calcal qui sert à trouver si elle a des racines égales, en opérant de la manière que nous al Ions indiquer. En désignant par Y le premier membre de ^équation (1) et par y sa dérirée, on divisera Y par Y'i et quand on aura obtenu un reste de degré inférieur à Y', on changera les signes de tous les termes. Soit Yt le reéte ainsi changé de signe : on divisera Y' par Yt, et en changeant le signe de reste on obtiendra un polynôme Y| de degré moindre que Yi; la division de Yi par Y» donnera de même un reste qui, changé de signe, sera désigné par Y^, et Ton continuera celte opération autant de fois qu'elle sera possible, en obtenant une série de polynômes de degrés décroissants, hés les uns aux autres, d'après la définition de la division , par des relatioDS de la forme
Y^ = V.., Q.., - Yr.
Le dernier reste Yr sera numérique ; car, d'une part, aucun de» polynômes Y', Ya, Y|... ne peut évidemment diviser le précédent sans diviser tous ceux qui le précèdent, et par suite Y et Y, qui
fL
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par hypothèse u'^ont pas de facteur commun; et, d'autre part, si V^ n'est pas numérique, on peut diviser Vr^ par "^r et obtenir un reste de pins, Yr^.
Cela posé, la considération des fonctions V, T, Vi -. V^ fournit le moyen de savoir combien Têquation V = 0 admet de racines réelles comprises entre deux nombres a et p; p étant plus grand que «, Toici la règle qui fait connaître le nombre de racines :
On SÊibstUuêra à la place dexk nombre « dans les fonctions V, V, Vt ... Vr-4, Vr, puis on écrira par ordre, sur une mime ligne, les signes des résuUatSy et Pan comptera le nombre de variations qui se trouvent dans celte suite de signes. On écrira de mime la suite des signes que prennent ces mimes fonctions quand on y remplace X par le nombre p, et l'on comptera le nombre des variations de cette seconde, suite. Autant elle aura de variations de moins que la première, autant F équation V= 0 aura de racines réelles comprises entre (tetp. Si la seconde suite a autant de variations que la première , Véquation Y = 0 n'admet aucune racine comprise entre « et P ; la seconde suite ne pourra, dans aucun cas, admettre plus de varieuions que la première.
fiSi. Pour dànontrer oe théorème, il faut examiner comment le nombre des variations formées par les signes des fonctions V, V, Vf,...Vr, pour une valeur quelconque de a?, peut s'altérer lorsque x passe d'une manière continue de la valeur et à la valeur pins grande p.
Quels que soient les signes de ces fonctions pour une valeur de X déterminée, lorsque x croît par degrés insensibles au delà de cette valeur, il ne peut arriver de changement dans cette suite désignes qu'autant que l'une des fonctionsY, Y'...yrchange de signe, et par conséquent devient nulle. Il y a deux cas à examiner, selon que la fonction qui s'évanouit est la première Y, on Tune des autres fonctions Y', Yi, ... \r^ intermédiaires entre Y et Yr. La dernière Yr ne peut changer de signe, puisque c'est un nombre positif ou négatif.
Yoyons, premièrement, quelle altération éprouve la suite des signes, lorsque x, en croissant d'une manière continue, atteint et déoasse une valeur qui annule la première fonction Y.
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Désignons cette valeur par a; la fonction V dérivée de Y ne peut pas être nulle en même temps que Y, puisque par hypothèse réquation Y = 0 n'a pas de racines ^les ; considéroos des valeurs de x très-peu différentes de a : si en désignant par h une quantité positive aussi petite qu*on le voudra, on fait, tour à tour, X'=a — h et x^^a-^-h, la fonction V' aura, pour ces deux valeurs, le même signe que pour a? = a, car on peut prendre h assez petit pour qu'elle ne s*évanouisse pas, ef, par suite, ne change pas de signe tandis que rccrott de la valeur a — ft à la valeur a-f A; cela posé, désignons Y par f{x\ ou a
ou, en observant que F (a) est nul et que T{a) ne l'est pas.
On voit , d'après cette formule, que pour des valeurs trèspetites de A, F (a + A) a le même signe que F(a), et, par suite, J que F(a + A) ; il n'y a donc pas, pour a? = a -f- A» de variations
entre Y et Y'.
On trouvera de même
et F (a — h) est, par conséquent, de signe contraire à F(a), par suite à F'(a — A), en sorte que pour a?= a — A, il y a une variation entre Y et Y'.
Les signes des fonctions Y et Y' formaient donc, dans la suite, une variation avant la valeur pour laquelle Y est nulle, et cette variation s'est changée en permanence lorsque x a franciu cette valeur.
Quant aux autres fonctions Y', Yi ... Y„ chacune aura pour a? s= a -j- A le môme signe que pour â;= a — A, si toutefois aucune ne s'évanouit pour â? s a en même temps que Y.
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La soile de^ signes des fonctions V, Vi^-xTr perd donc une Tariation lorsque x, en croissant, dépasse une valeur a qui annule V sans annuler aucune des autres fonctions V, Vi, ...Vf. n faut examiner ce qui arrive lorsque l'une de ces fonctions s'évanouit, soit pour une valeur de a égale & une racine de V= 0, soit pour toute autre valeur de cette variable.
£83. Soit V. une fonclion intermédiaire entre V et V,^ qui s'annule pour x s= b (V,, bien entendu, peut désigner la fonction T' aussi bien que les autres}, cette valeur b de xm peut réduire à zéro ni la ToDction V^fi qui suit V,, ni la fonction V^ qui le précède. (Si V, désignait V, V,^ désignerait V.) On a, en effet, entre les trois fonctions couséculives , Va i , Vn, V,H-ii une relation de la forme
et si deux fonctions consécutives V^-i, V. étaient nulles pour la même valeur de x, cette équation prouve que Tih-i le serait aussi; et comme on a
il en serait de même de Y»»*, puis de V,M'I--> et l'on prouverait enfin que Vr est nul pour cette même valeur de x ; or, cela est impossible puisqu'il est égal à une constante.
Cela posé, sulêtituons & x deux nombres b~helb + h, trèspeu diH'ërents de b, les deux fonctions V.., et Va+i auront, pour CCS deux valeurs de x, les mêmes signes que pour x = b, puisqu'on peut prendre h assez petit pour que V.-, et V,+, ne changeni pas de signes dans l'inlervalle ; mais V, étant nul par hypothèse pour x=b, l'équation (3) prouve que \,^^ et \,^ sont de signes contraires, et, par suite, quels que soient les signes de V pour x = b — hel pour x = b-^h, les trois fonctions
Vw. V„ V,j,
présenteront toujours une permanence et une variation. V, ayant nécessairement le même signe que l'un des deux qui le comprennent et un signe différent de l'autre.
Alc. sp. B. ^*
210 UVME lil.
Il n*y a donc, lorsque x^ franchissant la valeur 6, passade b^h kb+h, aucun changement dans le nombre total des variations àt la suite.
U est donc prouvé que chaque fois que la variable x^ en cnnsaant ë'une manière continue, atteint et dépasse une valeur qui rend Y égal à zéro ; la suite des signes des fonctions V^ V\ Vs, Yr perd une variation formée sur sa gauche par les signes de Y et de Y', laquelle est remplacée par une permanence ; tandis que les changements de signes des fonctions intermédiaires V, Yf».. Y»^ ne peuvent jamais augmenter ni diminuer le nombre total des variations. En conséquence, si Ton prend un nombre quelconque «, positif ou négatif* et un autre nombre quelcoDque p, plus grand que a, et si Ton bit croître â; de « à ^, autant il y aura de valeurs de x comprises entre s et p qui rendent T égal à zéro, autant la suite des fonctions Y, Y' ... Yr pour x = p présentera, de variations de signes de moins que pour âp = s. C'est le théorème qu'il fallait démontrer.
225. Dans les divisions successives qui servent à former les fonctions Y,, Y»...Yr, on peut, avant de prendre un polynôme pour dividende ou pour diviseur, le multiplier ou le diviser par tel nombre positif qu'on voudra. Les fonclionsYi, Y|,...Yr, qu'on obtiendra en opérant ainsi, ne différeront que par des facteurs numériques positifs de celles que nous avons considérées, et qui figurent dans les équations (2); de sorte qu'elles auront respectivement les mêmes signes que celles-ci pour chaque valcor àex.
Cette remarque permet de faire en sorte que les coefficients des divers polynômes soient entiers, pourvu que ceux de l'équation Y = 0 le soient eux-mêmes. Mais il faut bien prendre garde que les facteurs numériques que l'on introduit ou qu'on supprime soient tous positifs.
224. Si Tune des fonctions Y', YlmY,-, se trouve nulle pour Tune des limites a? = a, a;= p, il suffit de compter les variations en omettant la fonction qui est nulle. Cela résulte de la démonstration qui a été donnée (222) dans le cas où Tune des fonctions intermédiaires s'évanouit. Lorsque la fonctira Y» s'annule en
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effet pour â;=Qtj on a vu que pour a?=a — A, V^.^, V» et ¥«4.4 forment une variation, et une seule. Or cette variation subsistera Iorsqu*en omettant la fonction Y», on considérera Y».i et Y„^.i qui sont de signes contraires, comme formant deux fonctions consécutives.
Si Y se trouve nul pour x=qlj on en conclut que a est racine de l'équation proposée, et la règle s'appliquera à la recherche de nombre de racines comprises entre a -f- A et p. a -f-^ fournira entre Y et Y' (S2i) une permanence, et donnera aux autres fonctions le même signe que la valeur a.
SStt. Lorsque l'on pourra reconnaître que Tune des fonctions V„ intermédiaire entre Y et Y,., conserve constamment le même signe, pour les valeurs de x comprises entre a et p, il ne sera pas nécessaire de considérer les fonctions qui suivent Y», la démonstration pourra se faire sans aucun changement, en réduisant la suite à Y, V, Y,...Y».
296. Si l'on prend l'un des nombres a et p très-grand et négatif, et l'autre très-grand et positif, en faisant o=— 00, p==4-0D, le théorème de Sturm fera connaître le nombre total des racines réelles* Pour que toutes les racines soient réelles, il faut et il suffit que leur nombre soit égal au degré m de l'équation Y=0. Mais le nombre des fonctions Y, Y', Yi...Yr est, tout au plus^ m 4- I9 et, par conséquent, le nombre des variations, au plus égal à m, ne peut atteindre cette limite que si la suite est complètef c'est-à-dire si les degrés successifs vont en diminuant précisément d'une unité de chaque fonction à la suivante. Il faut de plus, pour que toutes les racines soient réelles , que la sub» stitution de — 00 à la place de x ne donne que des variations, et celle de + » que des permanences. Les degrés des fonctions étant alternativement pairs et impairs, on voit aisément que les deux conditions exigent l'une et l'autre que les coefficients des premiers termes soient tous de même signe, et que cela est suffisant.
