NOTIONS SUR LA THÉORIE DES

S I. Diflërences des divers ordre».

SS9. DEFINITION DES DIFFÉRENCES. Si l'on Considère de nombres qui se succèdent suiTaat une loi quelco difUirnce», obtenues eu relranchant chacun d'eux de le rail, forment unenonvelle suite, dont les termes se les dilfirences des termes de la première.

Alnâi, la suite proposée étant représentée par

[I] ifo i/i.Vi.yt,-.* y.-iitr-;

la suite des différences sera [2] fi— y». Vi—Vu î/i— i/i.... y.— y^î

(yi— Vi) est la différence de y,; (yi — yi), la différa (y» — !/a-i)( Iei différence de v>-i- ^onr former la dift y„ il faudrait connaître un terme de plus dans la suite Pour dé9>gner les différences, on se sert souvent di Ainsi, At/i désigne la différence (viM — y*}- I^'^prèa c tioD, les termes de la suite

auront pour différences

S30. DÉFINITION DES DIFFÉRENCES SECONDES. Une Si

conque de nombres étant donnée, leurs différence une nOQTelle suite, ayant un terme de moins que la

it opërer sur celte suite, comme sar cciie qui im a laissance, et former les diftérences des difTéreuces, nomme des différences stcondea. On les désigne par le

étantdoonée la suite

ences premières seront dé»gnécs par

Aj/,, Ayi, Ai/„ , . . Aj/,t;

férences secondes

Ay, — 4y„ At/, — Ay,, ... Ay^— Ay.^^

par

louvelle série a évidemment un terme de moins que h ite, et, par suite, deox termes de moins que la proposée.

DfiFINITTON DES DIFFERENCES O'ORDBE QUELCOKQUE. Si

re sur la suite des ditTérences secondes, comme on l'a B suite proposée, on formera les différences des diSéecondes, que l'on nomme des diffirmas trow^ma, et désigne par le signe A*, les différences

A*!/.— A'y.. A'yi— AVi. ••• A^-^-AV-.

lent par A*yi, A^i. . . . A'^i^-f

içoit que l'on peut continuer ainsi indéfiniment, et fordifférences quatrièmes, cinquièmes, etc., qui se désipar les signes A*, A' ... ; le nombre de ces différences imité que par celui des termes de la suite proposée. ;ux termes ne donnent lieu qu'à une différence pret il n'y a pas lieu de considérer leur différence seconde, mes donnent lieu k deux différences premières et h une e seconde; il n'y a pas lieu de considérer leur diffé- >isième. En général, m termes donnent lieu à (m — I) es premières, & (m — s) différences secondes, ... & irence (m — l)*"; it n*y a pas lieu de considérer leur

différence m"*. Si une suite est illimitée, on peut considérer des différences d'un ordre illimité.

252. Usage des différences pour la formation des carriîs. Nons commencerons par montrer, par deux exemples simples, de quelle utilité peut être la considération des différences.

Considérons la suite des carrés des nombres naturels :

les différences premières sont :

et les différences secondes,

^oj 2, 2, 2, S, 2, 25, jS, jS « • • ,

sont toutes égales entre elles. La démonstration est tellement simple, que nous croyons pouvoir nous dispenser de la donner

D'après cette remarque, si l'on voulait former la table des carrés des nombres naturels, on commencerait par écrire la suite [2],

puis le premier terme de la suite des carrés, qui est 1 ; et il est évident que chaque carré s'obtiendrait du précédent, en ajoutant le terme correspondant de cette suite [2]. Ainsi, on dirait 3 et 1, 4; 4 et 5, 9; 9 et 7, 16, etc.

255. Usage des différences pour la formation des cubes. Considérons la suite des cubes :

les différences premières sont :

les différences secondes sont :

21 s UVKB IV.

vl les diffîrencss troisièinea,

sont constantes et égales k 6. Celte loi est générale. Eb eSèl, quatre cubes comëcutîls sent r

a',(o+l)',Ca+i)',£a+a)';

les diiïérences premières sont:

3a'+3a+l, 3Ca4-l)'+3(tt+l) + l, 3(a+2)'-f 3(a+2)+l;

les ilifTérences secondes sont :

c'est-à-dire, en réduisant,

et la différence de ces dem ejprtmoas,. c'est-è-dir^, la différence troisième, est évidemment 6.

D'après cela, poar former un tableau des robes, on foismait snccessiTemtut les soiles [k] [3] [S] [t], cfaacnne penneaaal d'obtenir la suivante par de simples additions. Ainsi, ayant tciil la suite [3] sur une ligne verticale, on obtiendra la suite [2] en écrivant son premier terme 7, et en remarquant que chacun des autnssaEorme du précédent par L'addition du termeconespoiidast de la. anite ^3].

19 = 12 -f- 7 37 = 18 4- la

Ayant ainsi formé la suite [2], c'eat-à-dire les différences premières des cnbes, chaque cube pourra se déduire da précédent, en lot {youtaDt la différence correspondante, en sorte qu'ils ' déduiront tous du premier 1, par de simples additions.

Ainsi, avant écrit, sur une li^c verticale, les différences pr miëres obtenues plus haut, on formera la série des cubes, conui Tindliqiie le tableau suirant :

8= 7+ 1 27 = 19+ 8 64 = 37+ 27 IÎ5 = 61+ 6i 216 = 91 +Lt&

Le tabl^u suivant résume les résultats que nous venoi d'obtÊolr.

CUBBS.

DIFF^ENCES 1™.

&lï

DIPF^ENCES DIFrâRENCES DIFïiREITCES

Four former ce tableau, on écrit d'abord, dans ta premié colonne de gauche, trois cubes consécutifs, l, B, 27; on enco clulles deux différences premières, 7 et 19, que l'on écrit da la seconde colonne, et la différence seconde 12, que Ton éc dans la troisième. Puis, après avoir écrit plusieurs fois, dans (luatrième colonne, la diffërence troisième qui est toujours 6, i ajoute cette différence à celle qui est à sa gauche, en disan

i; 6 cl 24... 30, etc.; on forme ainsi L orme de mime la seconde colonne à int: 18 et 19... 37; 2*1 et 37... 61;;. «coude colonne, ainsi coDslruîte, sert dit : 19 et 37... 64; 61 et 64... 125 ; 91 suite.

vtlcongue du UibUau est igai au nombrt i la même colonne, augmenté (Ucelui qui dam la colonne suivante.

mules des différences.

'U, EN FONCTION DE U», ««, t^... V,.

une diffîcullé k former, d'après ce qui > successives jusqu'à la n~* iDclusive- 'nerons pas cependant aux indicatioDs 1 ' ces calculs, et nom donnerons la for- ' Ësultiit général, ions :

«,, Au,=w,— «,,...; I

i-u,, A*ti|=Aui — Au,=«, — Stit-|-t4,... ;

2ut+ii.) — («1— 2Ui+«,)

eut prévoir la loi suivante : la diUimtUtipliant u„ u,t— a* par la coef- :CA-a)'.

e loi est générale, nous allons ^re nme vraie pour une difTérence d'un e, par cela même, pour la différence périeure.

Celle formule, donnant la différence p™ du premier terme d'une suite quelconque en fonction des {p+ 1) premiers termes, n pouvons l'appliquer au calcul de A^ui, en considérant Ui coni premier tenne de la suite

cela revient évidemment à remplacer, dans la formule [l], par ui, u, par Ui,..., c'est-à-dire à augmenter tous les indi d'une unité. On aura, par suite, m vertu de ta mime formule .

ou, en retranchant l'égalité [L] de l'égalitô [S] :

Or (46) la somme de deux coefflcîenls successifs du dévelop ment d'un binôme forme un coefficient du développement d puissance immédiatement supérieure; on peut donc écrire :