S82 L1YA£ IV

On a, par définition :

ti|=tii+Aui= V|4- 2 Awo+ A*iy, + AW| + A*U|,

=ti,+2 Au,+ A> ti«+ (Au,+A*w,)+(A*ii,+A\ , =Wo+3Au,+3AX+A*Wo;

et Ton aperçoit immédiatement la loi suivante.

Le itrm^ Up, de rangf (p + 1), st forme, en multipliant u« et Us différences successives. AU|, M^u^, A'Ug... A^Uo» l>ar les coefficient du développement de (x + a)^.

Pour démontrer que cette loi est générale, nous poronverons encore, qu*en Tadmettant comme vraie pour un terme de certain ordre, elle est vraie» par cela même, pour un terme immédiatement suivant.

Supposons donc que l'on ait prouvé la formule :

[1] t*,=t/o+pAuo+,^^Ç=l^A«t/.+...+APw^^

Cette formule donne le (p+l)*^ terme d'une suite quelconque ^%f ^1} ^sr- Upi en fonction du premier et de ses p différences successives ; si donc nous appliquons la même formule à la série

Au,, Auiy Au,... Au,,

elle nous donnera le (p + 1)"* terme Au^ en fonction do premier Au, et de ses p différences successives qui sont éviden]-* ment A'u^, A*u,... A>^'u» ; on aura donc :

[2] \u,= ^u,+pl^u,+BlR^ A^u,^...+ ^^u.;

DES OIFFÊIENCES.

formule qui se déduit de [1] en augmeataot d'une dices des A. En ajoutant les formules [1] et [3], il 1

«,..=",+ A", = w. + CP + I)i«.

et, comme (46) la summe de deux coeHicicnts cor puissance pd'un binôme est un coefficient de la pui! cette égalité peut s'écrire :

ce qui est précisément le résultat qu'il fallait obten

5 m. Différences dea pol^nomei.

S36. Nous avons reconnu (238), que la suite ( nombres naturels a ses différences secondes, et cubes ses différences troisièmes égales h une co: proposition s'étend aux différences quatrièmes d quatrièmes puissances, aux différences cinquiëmi des cinquièmes puissances, etc. Mais, sans nous . propositions, nous démontrerons le théorème suivi sont évidemment des cas particuliers.

TBftoBèHE. Si dans unpolynome m x, dt degri n à X une suite de nombres en progression arithmitiçue. m"" des résultats obtenus sont canstanles.

Soit, en effet, le polynôme :

S24 UVRE lY,

Supposons qae Ton substitue à rc les valeurs successives

désignons par y«, yi, yt^..., y»...,

les valeurs correspondantes de y. Toutes ces valeurs sont évidemment des polynômes, de degré m, en w%, dont les coefficients dépendent de A : car on a :

V{x.+ph) = F(ph+x^ = V{ph) + F'(pA)x,

De plus, il est clair que, pour passer de Tune de ces valeurs à la suivante, il suffit d'y changer x^ en (x^ + A)* On a, en effet, en considérant deux valeurs consécutives de y, y^ et y^| :

y,= P(a?,+pA), y,.t = P[a^+(p + l)A];

et il est évident que {^o+(P+l}^} peut se déduire de (^s+pA), en y changeant Xo en {x^ -j-h).

Gela posé, les différences premières Ay,, Ay^, Ay^... sont des polynômes du degré (m — 1} en x^, dont les coefficients dépendent de A. On a, en effet :

Ay.=yi-y, = F(a?o + A)-F(a;b)=P'(a?.)A+r(a?,)Y^ + -...

Or on sait que V'ix^ est un polynôme de degré (m — l), F^(â?o) un polynôme de degré (m — 2), etc.; la proposition est donc démontrée pour Ayo. Il en résulte qu'elle est vraie pour les différences suivantes, Ayi, Ayi,.,.; car chacune d'elles se déduit de la précédente, en changeant x^ en {x^ -|~ A) ; ce qui ne change pas son degré, par rapport à x^.

La série

W Ayi, Ayi,..., Ay^...,

pourrait donc s'obtenir, en substituant successivement à rr, dans un certain polynôme, de degré (m — 1), les valeurs x^.x^+h....

iiES DIFFÉRENCES. 225

Si donc nous appliquons à cette suite ce qui a été dit de la suite,

y«i tftv» y»»

déduite de la même manière d*un polynôme de degré m, nous verrons que les diiîérences des termes de la série [2], c*e8tà-dire

[3] A*y„ A'yi,..., A^i

sont des polynômes, de degré (m — 2), en x^y et que chacun se déduit du précédent, on y changeant x^ en (x^ + h); en sorte qu'ils peuvent tous se déduire d'un même polynôme, en y changeant X en a?o> ^o + '^j ^o + 2/i,...

Si nous appliquons à la suite des différences secondes le théorème dont nous avons déjà deux fois fait usage, nous verrons que les différences des termes de la série [3]| c'est-à-dire

sont des polynômes, de degré (m — 3), en x^.

Et, en continuant de la même manière, nous verrons que les différences quatrièmes sont des polynômes de degré (m — 4), les différences cinquièmes, de degré (m— 5),... et enfin les différences w"^, de degré 0, c'est-à-dire indépendantes de aib ; ce qui prouve le théorème énoncé. Car, pour obtenir chacune de ces différences, on doit changer, dans la précédente, Xo en (â7| -i-h); et elles sont, par conséquent, constantes, quand elles ne contiennent pas x%.

937. Remarques. En revenant sur les détails de la démonstration précédente, on peut faire plusieurs remarques utiles.

Remarque L On a trouvé la formule :

[1] ^y.^yi-yo=f{x.+h)^¥{x,)

On voit que l'accroissement h est facteur dans le second membre ; et qu'il le sera encore, si l'on remplace x par {xo -f- h\ (âP,-{-2/»), pour former les différences At/i, Ay^»— ; en sorte

&LG. sp. B. 15