LIT&B IV

que toutes les différences premières contieiiiieiit en factear l'accroissement h.

REiiARQUE II. II est évident que, si le polynôme proposé F (or} renfermait h en facteur, ce facteur se retrouverait dans les dérivées successives F(a?), PCa?!)... F*(a?o); et, par suite, tous les termes de la différence contiendraient, non plus seulement h, mais h^ en facteur. Il résulte de là que, la différence première étant un polynôme qui contient h en facteur, la différence seconde contiendra A* en fisicteur à f ous les termes. La formule [l] prouve, en général, que, si un polynôme f(x) contient en acteur une puissance A^ de A, sa différence contiendra à tous les termes le facteur hl^ ; et il en résulte de là, que les différences des différences secondes, c'est-à-dire les différences troisièmes, contiendront le focteur h\ que les différences quatrièmes contiendront le facteur h\ et ainsi de suite.

On voit que, si Taccroîssement h décroît de plus en pins, les différence décroîtront suivant une loi d'autant plus rapide qae leur ordre sera plus élevé.

Remahqub III. L'expression génénde de Af «,

est, comme nous l'avons dit, un polynôme, de degré (m— l)i que l'on peut ordonner suivant les puissances de x^^ Si Ax* représente le premier terme de F (x), il est fadie de voir que le premier terme de ày^ sera le premier terme de F (a?J A, tf èstà-dire, fnkaf^^hi et que, par suite, Ay«» Ayi, Ay^..*, s'obtiendront en substituant à x les valeurs â?i, (rr, -|- A), (rp« + SA}... dans un polynôme dont le premier terme est mhksf^^. En appliquant à ce polynôme le résultat trouvé pour V{x\ on verra que les différences premières de ce polynôme, c'est-à-dire les différences secondes de F(â;}, peuvent s'obtenir en substituant à « les valeurs â?„ (oTi-f A)..., dans un polynôme dont le premier terme est m{m — l)AA*a^. On verra de même, que le premier terme du polynôme, qui donnerait les différences titHsiènies,

est fn (m— 1) (m — 2) AA'aT-*. Enfin la diflférence m^^ qui se réduit à un seul terme, puisqu'elle est indépendante de ^, est :

Les polynômes en x, dont il est question ici, se nomment les différences première, deuxième, troisième,... m"% du polynôme y = F(a?), et se désignent parles notations Ay, A*y, A'^/,... A^y.

238* Application au polynôme du troisième degré. Si nous considérons le polynôme du troisième degré :

nous trouverons sans peine, en y remplaçant x par {x -f- h)^ et en retranchant [l] du résultat :

de même, en remplaçant x par (x+h) dans [2], et en retranchant ensuite [2] du résultat, on a :

et, en opérant sur [3] de la même manière, on a :

Pour obtenir les valeurs de Ayo, Ay^, Ay,...; A*yo, A^y^..., il suffira de remplacer, dans le second membre des formules [2] et [3], X par a?oi (^o+A)» etc.

Si Ton voulait former les valeurs numériques de la fonction y et de ses différences, il faudrait procéder comme on Ta indiqué pour former le tableau des cubes.

S59. Exemple. Soit, par exemple, le polynôme

formons les valeurs que prend ce polynôme pour des valeurs entières de la variable. Si Ton fait successivement rp = — l , o? = 0, «ss 1, on trouve pour valeurs correspondantes de y, y = — 13, y= — 1, y = 1, dont les différences premières sont 12 et 2, et la d^érence seconde est «-- 10. Quant à la différence troisième

de y, on sait qu*elle est égale à 6. On disposera ces résaltaCs de la manière suivante :

Ay

et Ton remplira ensuite les différentes colonnes, en remarquant que chaque terme de Tune d'elles (la première colonne exceptée) est égal à celui qui est au-dessus , augmenté du terme correspondant à ce dernier dans la colonne placée à sa droite. Celte remarque permet évidemment de prolonger les colonnes dans les deux sens ; on trouve :

Ay

Pour prolonger d'abord la colonne des différences secondes vers le bas, on dit: — 10 + 6. . .—4; — 4 + 6.. .2; + 2+6. .. 8, etc. On prolonge de même la colonne des différences premières, à l'aide de la précédente, en disant : — 4 + 2... — 8;+8 — 2...0; 8 + 0. . • 8, etc. On prolonge de même la série des valeurs de y (qui correspondent à o; =: 2, 3, 4, . . . ) en disant : — 2 + 1. . . — 1; 0=1... — 1 ; 8 — 1. . . 7, et ainsi de suite. Pour prolonger les colonnes vers le haut, on remarque qu'an

DES DIFFÊ:tENCES. 229

lerme d'une colonne esl la difTérence entre le terme placé audessous de lui dans la même colonne, et le terme placé à droite et au-dessus dans la colonne suivante. On prolonge donc d'abord !a colonne intitulée 4'y, en disant: — 10 — 6... — 16; — 16 — 6. . . — 22 ; — 22 — 6, . . — 28, etc. On prolonge ensuite, k l'aide de celle-ci, la colonne des &v> «i> disant : IS— (— 16)... 28; 28~(— 22J...50, etc. On prolonge enfin la séné des valeurs de y, en disant;— 13 — 28...— 41 ; — 41 — 50. .. — 91,etaln8i de suite.

S40. Remarque. On voit, par l'exemple précédent, que, {jour calculer les valeurs d'un polynôme du troisième degré, qui correspondent à des valeurs enliëres de la yariablc, il suffît de cunnaître celles qui correspondent à trois nombres entiers consécutifs — 1 , 0, + 1 ; en se fondant sur ce que la différence troisième est constante, il est très-facile d'obtenir, par de simples additions, les valeurs suivantes.

Si le polynôme proposé était du quatrième degré, la différence quatrième serait constante ; et, pour former la série de ses valeurs, il suffirait de connaître quatre valeurs consécutives. Il en foudrait cinq pour un polynôme du cinquième degré ; et ainsi de suite. Il ^udrait en connaître m pour un polynôme du m"* degré.

% Vf. Différencn des fonction!.

fi41. DériNiTioN. Soit une fonction quelconque y^f(x). Si l'on désigne par x une quelconque des valeurs attribuées à x, et par (x + h) la valeur suivante, l'expression

iV = 4(Fa:) = F{x + h)— ¥(x)

se nomme la différence premiire de F(x). I)e même, si l'on change X en {x-{-h) dans AF(x), la différence

yy = A'F(a;) = 4F(a; + h) — AFCi)

se nomme la diffèrtnet ucondt de F(x). Et ainsi de suite.

Exemple. Soit : y — d".

uvio: lY.

On a:

Ay = a*** — a* =s o-Ca* •- 1),

c*est-à-dire qoe la diffëreace première s'obtient en multipliant la fonction par la constante a*. On a, par suite :

j Y. Usage des différences pour la construction des tables numérique.

249. Tables numériques. La considération des différences est fort utile dans la constmction des tables de toute espèce. Il arrife, en efEiet, pnesqw toojoiirs fue, dans une série de boah bres résultant d'une loi régulière, et suffisamment rapproebés les uns des autres, les ^Ufférences tendent de plus en plus rers régalité, à aokesore que leur ordre s'élève. En négligeant des quantités fort petites, on fo«rra, à partir d'un certain ordre, leur supposer, dans un certain intervalle, une valeur invariable, et construire la table comme s'il s'agissait des valeurs d*un polfnome.

Ne pouvant donner ici la raison de ce fait générai, nous nous bornerons à le développer sur deux exemples.