Exemple I. Si l'on pose
yssiogff,
on aura :
Ay=log(a? + /i)-log(x; = Iog(l+^),
Puis: A*y = log(a?-f2A) — 2log(;c + A)4.1oga:
= log (a?+ 2A) — loga?— 2 {log (a? + /i)— logx)
ou A-» — loge(|-^'+...).
DES DIFFfiRENCES. 231
Puis:
A»y = log (ar + 3/i) — 3log fa? + 2^) + 3log (a? -(- &) — log 0?
=iog(.+f)a„(i+^)+sjog(.+î)
OU A'y = log e f — j- — elc. ) •
Si l'on suppose, par exemple, x = lOOOO et h = I, il viendra :
Ay = 0,000043427276863,
A»y = 0,O0OO00OO0O0Oe 68 ;
et, si Ton ne voulait avoir les résultats qu'avec dix ehînres décimaux, on pourrait négliger longtemps les différences du quatrième ordre, et procéder comme si la différence troisième était constante. On formera donc succesdvement les colonnes des différences troisièmes^ secondes, premières, comme au n* S59; d*où Ton déduira les logarithmes des nombres 10001, 10002, 10003, en partant de celui de 100000, qui est 4,000000000000000. 11 fondra vérifier les résultats, au moyen de logarithmes obtenus directement à des intervalles éloignés. La méthode des différences devra les donner exacts, avec le nombre des chiffres que l'on veut conserver. Lorsque le dernier de ces diiffines cessera d^ètre exact, on calculera de nouveau, à priori^ au moyen des formules (943), les différences Ay, AV> A*y; et Ton se servira de ces nouvelles valeurs comme des précédentes.
244. ExEUPLB n. Soit proposé de calculer, A 7 décimales exactes , une table de logarithmes des sinus de 10 en 10 .secondes, depuis 72*j*usqu'à 72^ l'30^
Nous savons que
sin 72» =4 VlO-hV5=0,9M05«5, COS 72« = J(v^5— 0 = 0,3090170;
donc, en prenant les logarithmes de ces deux valeurs, et ajoutant, comme on le fait toujours, dix unités à chacun d'eux ;
log sin 72" = 9,9782063255, logCOS7a* = 9,4899624.
Heprenons les formules précédentes :
j/ = Iogir, Ay = loge(|-^+....),
d»I/ = loge (-, — ....). Nous cherchons ici log sin f , 7 étant égal à 7S*, donc :
Déterminons maintenant l'accroissement A du sinus, correspondant & un accroissement de l'angle de Vf.
Ou a : ft = sin(9 + I0^ — sinç;
sin (f + 1(0 =sin9. coslO* + cosf.sin 10'.
'"'°' = îîôlllfx-6Ô = '''™™' SW1368l....<i|, nme sin at>ic — ^»
s de lO'nediffèrede son arc,que d'une quantité moindre vTÔ') ' °^ ^^ moins de ^. De plus , cos a; > 1 — g î e cosinus de 10' ne diffère de l'unité, que de moins ou que d'une unité du nfruvième ordre. On peut
Jans la valeur de sin (? + 10'), remplacer cos IC par 1, to* par arc 10", et écrire :
sin (ç + 10"; = sin f + cos ? X arc iC;
ivec une approximation dcrra :
A = cosf xarclO'.
DES DIFFËRENGES. 233
L*angle f est égal à 72^; donc, en négligeant h*, on a :
. , cos72*xnrcl0''
Ay = log e r— — î .
^ ° sin 72*
Or : log (log e) = T,637 7843
log COS 72*=T,489 9824
log 10* = 5, 685 5749 C* log sîn72^ = 0.021 7937
donc log Ay = 6,835 1353
et Ày = 0,000 0068412.
Gomme nous calculons les valeurs de log sin ^ , à 7 décimales
h* h* exactes, les valeurs de ^9 ^ ^ty P^i* suite, de A*y, n'influent
plus sur le résultat que nous cherchons ; et la fonction transcendante log sin f , dans les limites indiquées , peut être considérée comme une fonction algébrique du premier degré,
fonction qui augmente de t^ environ pour chaque 10'' d'augmentation de Tangle f . *^
Pour être assuré de l'exactitude du dernier résultat, il faudra calculer à 8 décimales et former une progression arithmétique, dont le premier terme est :
log sin 72* = 1,978 20632...,
et dont la différence est 684. Eh nous bornant aux quatre derniers chiffres des logarithmes, la progression sera :
Supprimant le dernier chiffre, et ajoutant une unité du septième ordre, lorsqu'il est plus grand que 5, nous aurons :
log Siû 72*0' 0"= r,978 2063 log sin 72*0'10" = î,978 2132 logSÎn72«0'20* = T,978 2200
234 UVRE iV.
log sin 72«0'30^ = ï,978 «68
log Sia 72»i)'4tf'= ï,978 2337
log Sin 72»0'50* = î,978 2405
log Sln724' 0»=U97B 2fc74
log sin 72n'10'=î,978 2542
log sm72[*r20*' = 1,978 2610
logfiin 72n'30''=T,978 2679
Ce qui s'accorde parfaitemeot a^ec les valeors fouîmes par les tables de Gallet.
llÉST}ld.
299. DéfisitioD des difTéreDees. -* 280. Défoition des diflérami tecondea. — 231. Définition des diflërenoes dhin ordre (peleoDqiie.— 232. Usage des différences pour la formation des carrés. — 233. Usage des différences ponr la -formation des cnbes. — '2M. Formule qui exprime la différence d'un ordre quelconque. — 23IL Fonnole in- Yorse, qui exprime un terme quelconque d*une stxite, au moyen do premier et de ses différences successives. — 236. La différence m^ d*un polynôme de degré tu, est constante — 237. Les âflféieDces premières contiennent» en facteur, l'accroissement A de la fariable; les différences secondes contiennent h* ; les différences troisièmes fc*, etc. Expression de la différence m"*«. ^ 238. Application au polynome du troisième degré. ^ 5^9. Exemple. -^ 240. Pour calculer les yaleurs d'un polynôme du m*^ degré, qui correspondent \ des yaleurs entières de la variable, il suffit de connaître celles qui correspondent à m nombres entiers consécutifs. — 241. Diffénencesdes fonctions. — 242. Des tables numériques. — 243, 244. Applicatioos à la construction des tables.
EXERCICES
I. Trouver, à l'aide des différcDces , la somme des carrés, la somme des cubes, etc. , des p premiers nombres entiers.
On applique la formule du n* tSft, en posant ii^=l*+ 2" + 3" + ....+!'*
II. Calculer les valeurs que prend, pour des valeurs entières de la variable, le polynôme
ni. Prouver que, si 9(«} désigne une fonction quelconque d'une variable et que Ton considère la suite
les ftacuons — jj— , ^ 9 ^ «-■m
ont respectivement pour limites les dérivées du premier, second, troisième ordre de ç(â^ En conclure que, si li est petit, les difSërences sont, en général, d*autaut plus petites qve levr ordre est plus ^levé.
