DE L'INTERPOLATION

S I. Ëooncé de la question.

248. DÉFINITION. L'interpolation consiste à insérer, entre les termes d'une suite, de nouveaux termes assujettis à la même loi. Ce problème est quelquefois très-facile, lorsque la loi des termes de la suite est connue. C'est ainsi que, entre deux termes d*ane progression, on peut insérer par un procédé fort simple i un nombre donné de moyens. Si l'on considère , au contraire, des nombres quelconques dont la loi soit inconnue, le problème de l'interpolation devient complètement indéterminé ; et pour le résoudre, il faut imposer aux termes inconnus une condition qui fasse disparaître l'indétermination. Cette condition est, le plus souvent, que les différences d'un certain ordre seront égales à zirOt On en a vu un exemple, dans la détermination des logarithmes des nombres non compris dans la tablé ; admettre , en effet , comme on le fait, que l'accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres , c'est admettre que, pour des accroissements égaux des nombres, les accroissements des logarithmes sont aussi égaux; ou, en d*autres termes, que la différence première des logarithmes est constante, et que^ par suite, la différence seconde est nulle. Dans le cas des logarithmes, les tables pormettent, d'ailleurs, de vérifier qu'il en est à peu près ainsi pour des accroissements du nombre égaux & Tanité ; et l'on conçoit qu'il doil, à fortiori , en être de même pour des accroissements plus petits : nous avons d'ailleurs montré (945), que les différences secondes des logarithmes diminuent rapidement. Cette loi s'applique , du reste , à toutes les fonctions ; lorsque la variable croit par degrés égaux de plus en plus petits, les différences de la fonction diminuent d'autant plus rapidement que leur ordre est plus élevé. Lors donc que, dans la construction d'une table, on apercevra que les différences d'an certain ordT*e deviennent sensiblement nulles, on pourra admettre qu'il en serait à fortiori de même pour des accroissements plus petits .

Et alors le problème de rinlerpolation peut s éfibncer ainsi : Connaissant les valeurs u,, Ui, u,,.... u„ d'une fonction, qui correspondent à des valeurs Xo, Xo + h, Xo+2h...Xo + nh, de la variable; en admettant quCj pour des accroissements égaux quelconques de X, les différences (n + l)"*" de la fonction soient égales à zéro^ trouver les valeurs de cette fonction qui correspondent à une valeur donnée de x comprise entre Xo et Xo +nb.

g II. Formules d'interpolation.