Formule de newton. Reprenons la formule

rn .. I A I ^(^ — Oaï I nfn— l)(n — 2)., [I] t^=Uo + ^^AtA>4- \g 'A'u, + -^ — ÏTJ^ -^A'ti,

nfn— l)....(n~9i + l)

qui a été démontré (255).

Supposons que la dernière valeur de x y pour laquelle u est connu, soit représentée par x^^ de telle sorte que Ton ait :

et, par suite , n =* — ^— ^ ;

la formule [l] devient :

/av— ««\ (Xt--x, \ {Xj — ic, ^ , ,\

, i~ir-J(,~ft — V--l~ft — "+7

Si, dans le second membre de cette formule, on remplace x^ par la lettre indéterminée x^ on formera une fonction f {x\

[3] ç(a;j = «. + — ^Au»+-i '-f^ ^ A«u,,

qai, évidemment prend la valeor u» pour x = Xt, c*est-à-4iR

pour«=:a?o+w*« Je dis, de plus, que si l'on y donne à rr les valeurs, x^jX^+h^

^, + 2A,... a?o + («— 1)^1 ? (^) deviendra saccessrrement u„ 1%, u^,.,. Un^i ; et, comme d'ailleurs cette fonction est un polynôme du degré n,- dont la diflérence n"* est constante (9SS), eth remplil toutes les conditions imposées par l'énoncé, et elle est, par suite, la solution du problème proposé.

Faisons, en effet, dans la fonction f (nr),

cette valeur pouvant représenter toutes les autres, si le nombre arbitraire p devient successivement 0^ l,...n. On aura :

[4] ç(a?+pfc) = Uo+pAUo+£^^^^A'u, + ....

+ ïjz:^ ^^'

et les termes suivant disparaissent ; car — r-^ devient égal à

p, et par suite, chacun des termes, à partir du (p -{- 1)**) <^^^' tient (p — p) parmi les facteurs de son numérateur. Or, le second membre de la formule [4] est (S3S) l'expression de v/, et, par suite , la fonction (p (x) devient, comme nous Tavions annoncé, égale à u,, quand on fait a?=:Xo-|-P^> et elle remplit les conditions de l'énoncé.

247. Remarq^je I. En écrivant, comme nous l'avons fût, la formule :

!^=u+»îAUoH — \ - ^AHie + ..,.-^ /q' ^ ^A'^tf

il faut avoir bien soiu de ne pas supprimer les facteurs communs aux deux termes des derniers coefficients. Ainsi , par exemple, le coefficient de ^'% est l'unité ; mais on doit l'écrire:

DES BIFFÉHfiNGES.

3/ """■ »Uù

ce qui fournit, par la substitution de — r^ à n, dans le numérateur» un polynôme bien différept de Punilê.

Sk48. Remarque II. La fonction f {x\ que nous avons trouvée (246), est le seul polynôme en x^ qui puisse résoudre le problème tel qu'il a été posé. En efTet^la différence (n-|- 0"* devant être nulle d*aprës l'une des conditions, le polynôme ne peu! avoir de termes de degré plus élevé que le n"*. Or, un tel polynôme étant désigné par ^ (x), et devant prendre les mêmes valeurs que<p(a;}, savoir Uo, Ui, t/s,...u», pour a?=a:|, Xt, x%j,..x^, 'û faut que la différence f^x)—^ (x) s'annule (n -j- 1) fois , ou en d'autres termes, que l'équation

admette au moins (n-j- 1) racines, x^^ Xtj x% ... Xnl ce qui exige, puisqu'elle est du degré n, que son premier membre soit identiquement nul, et que, par suite, les fonctions ^ et «1^ soient identiques.

248. ExEBfPLE. Nous donnerons une application de la méthode précédente. Supposons que l'on veuille obtenir le logarithme de 3,U15926536, par le moyen d'une table de logarithmes à dix décimales. On regardera les logarithmes contenus dans cette table, comme les valeurs données de la fonction u, les nombres comme celles de x, et l'on formera le tableau suivant:

Au

àht

AHi

La diBërence quatrième étant extrêmement petite, on peut considérer la différence cinquième comme nulle.

240 LiVRE IV.

Pour appliquer la formule

[3] tt.=t/, H — j^ ^u'^^] YJ ^^

(X — XA fX — Xo \ /£— £, \

+ YJJZ ^^'^

nous devons faire :

Avo= 0,0013809057,