AH

et comme A = o,oij

0?, = 3,14, a? — ar, = 0,0015926536,

on obtiendra :

Avec ces valeurs, il sera facile de mettre en nombres la for* mule [3], qui donnera :

u, = log 3,1415926536 = 0,4971498727.

2K0. Formule de Lagrange. Il existe une autre formule, qui fait connaître approximativement les valeurs d'une fonction tft lorsqu'on connaît les valeurs W|, tii, ti, , . . . u,,, qu'elle prend pour des valeurs x^, Xt, ^rt,... rr«, de la variable. Nous supposons

DES DIFFËRENGES. 241

comme précédemment, que u soit une fonction rationnelle de X, du degré n. Soit donc :

u, = « + p»+ yx" +• • • + 1*3^; on aura: Vo = «+^o+Y^a*+--- + [*^*f

et Ton pourrait déterminer «, p, y* • • • l^t en résolvant ces équations, qui sont du premier degré ; mais on se dispense de cette résolution, en posant :

Uto = X,ti, + Xii/i + X|Ui + . . . + Xi^tita.

Xfy X|, Xs, . . . Xn, sont des fonctions de x, assujetties aux conditions suivantes :

Pour â;=a?( ; Xi, Xt, ... X», doivent s*annuler et X| devenir égal à l'unité;

Pour x = Xi: X^, Xj, . . . X., doivent s'annuler, et Xi devenir égalàTunité;

Pour x=â;a: X«, Xi, Xt,... X», doivent s'annuler, et Xi devenir égal à l'unité*

Pour x = Xn\ Xo, Xi, . . . X,-i, doivent s'annuler et X, devenir égal à l'unité.

U est évident, en effet, que, d'après ces conditions, li» deviendra égal à u», tii, . . . u« pour les valeurs X|, rti. • . or» de x.

Or, TU s'annulant pour les valeurs Xi, x^^.*. de x, on peut poser:

Alo. sp. B. ^^

jâ

^ oMune, pour x^=œ^y on doit avoir Xo = l, on posera

en sorte que

y (x — Xj) (x — ar^) . . . (a? ~ Xn)

• "" (xo — Xi) {xo — a?i) . . . (xo—xS

On trouvera de même :

y (a;— a?o)(a? — grQ... (a;«-a?0 '^ "" (a:i— fl:«) (a?i — a^i) . . . (a?i — a?»)'

V ^ (a? — a?o)(a?— g:,) (a;— ar»)...(a?— g»)

et aiusi de suite : la formule cherchée est donc :

(a;~a?,)(a;— a'i)...(a?— a?n) . (a;— a?^)Ca?— a:a)...(a?-T,) ^''"'^ ^a?,— a?,)(a?,— a^)...(a?,— a?n) "^ (a^i— a;o)(X4— a:ij...(a?i-nr.)

I 4.-. (ag — gp) (a; — arQ . . . (x — a?„,i) (a?„ — ^a?o)(a'f, Xi)» • .(a?» — x^^^

% m. Application de la méthode dUnterpolaiion à la représentation eucté d'nne fonction entière f(x)j du degré m, dont on connaît les yalenrs u^, «1, U19... Um> correspondantes aux valeurs de org, œo-h^i— a^^^^^^ la variable.

Sttl. R£PRisEzn*ATiON o'iTNB FONCTION ENTiiiUB. La formole d*interpoIation [3], démontrée (246), a pour bat de former une fonction entière, de degré m, qui, pour les valeurs x^^x^+h, ..•os^^mkdeXf prenne les valeurs t^, Ui, . . • tii». Or, deux fonctions entières, de degré m, ne peuvent être égales pour (m+l) valeurs de la variable, sans être complètement identiqnes; car, sans cela, en les égalant, on formerait une équation, de degré m, admettant (in+ 0 racines. La fonctkm /'(x), indiquée dans

renoncé, est -.donc identique à la formule fournie par h méthode dlnterpolatioD ; et Ton a :

A'wo+..*

fiS9. LnoTES DES RAariES d'une équation f{x) = 0. On conclut de cette formule que, si les quantités u^, àu^^ . . . A*"!/^,

sont pofiiiiies, en donnant à x une valeur tdle que , ^ y

/aj— £, j\ ^^ P~^*— m+l) soient des quanlilés poôtiFes»

c'est-à-dire en faisant x plus grand que a?t+(m — 1)^, f{x) sera positif. On peut même ajouter qu'à partir de la valeur x-=Xo -{-(m — l)h, tous les termes qui composent le second membre de la formule [A] augmentent avec x^ et que, par suite, il en est de même de flx). Il résulte évidemment de là que a?o + C^— 1}^ est une limite supérieure des racines positives de l'équation f{x) = 0'y et les solutions de l'équation doivent être cherchées parmi les nombres inférieurs à cette limite.

De même, si l'on donne à x une valeur x^ telle que les quantités lioi Au«, AHi^, • . • A*'Uç soient alternativement positives et négatives, 0?! est une limite inférieure des racines : car, pour toute valeur de x inférieure à a?,, chacun des termes de f(x) devenant positif, f{x) ne peut plus devenir nulle.

RÉSUMÉ

MK. But de l'interpolation : Condition arbitraire que Ton s'impose. — 248. rormole d'interpolation de Newton, applicable à une fonction dont on connaît les valeurs pour des valeurs équidistantes de la variable. "— 247. Remarque. — 248. La fonction trouvée est le seul polynôme, entier en cd, qui puisse satisfaire aux conditions demandées. — 249. Application à un exemple. ~ 280. Formule d'interpolation de Lagrange.— 21^1. Application de la méthode d'interpolation

f 244 LIVRE lY.

à la représentation exacte d^one fonction entière, de degré m, dont on connaît les valeurs correspondant à (m+l) valeurs équidistantes de la variable. — 2S2. Limites des racines d'une équation f(w) =. 0.

EXERCICES

L On a observé une planète, et les ascensions droites ont été trooTées. Le 12 janvier 12^ 30* 0» 3' 25^,21,

19 janvier 9^ 0' G» 1' 28',04/

20 janvier 9* 17' 0^ 2* 26^67, l : 24 janvier 8^ 1' -<>• C 58',3.

Trottveri par interpolation, Tascension droite du 22 janvier à midi.

n. Les données restant les mêmes, trouver le jour et l'heure pour lesquds l'ascension droite a été nulle.