SUBSTITOTION DE NOMBRES ENTIERS CONSftCUTIFS. AprèS

avoir exécuté les opérations préliminaires dont nous venons de parler, et dont, je le répète, celle qui est relative aux racines égales est seule indispensable, on substituera, dans le premier membre de l'équation proposée, les nombres entiers consécutiCs: — ..., — 4, — 3,— 2, — 1, 0,+ 1, + 2, + 3, 4-4..., compris entre les limites des racines. Cette substitution se fera, comme il a été expliqué (230), par la méthode des différences: c'està-dire que l'on calculera directement un nombre de valeurs consécutives égales au degré m de l'équation, et l'on en déduira leurs différences jusqu'à celle de l'ordre (m — 1). Puis, en se fondant sur ce que la différence de l'ordre m est constante on

pourra calculer, par de simples additions ou soustractions, les valeurs des différences successives, et par suite celles du premier membre, correspondantes aux autres valeurs de la variable. Il résulte de la loi même qui préside à. la formation de ce tableau, qu'en faisant croître a?, on arrivera à rendre la fonction et ses différences toutes positives; et qu*en donnant à x des valeurs décroissantes, on finira par rendre la fonction et toutes ses différences alternativement positives et négatives. On s'arrêtera, dans les deux sens, lorsque ces conditions se trouverout réalisées; car aucune substitution ultérieure dû nombres entiers ne pourra, évidemment, modifier les signes.

Si les résultats de la substitution dés nombres entiers dans le premier membre ne sont pas tous de même signe, il arrivera, une ou plusieurs fois, que deux résultats consécutifs soient de signes contraires ; et nous pourrons affirmer, qu'entre Les nombres entiers correspondants il existe une racine ou ua nombre impafar de racines.

Si le nombre des intervalles, dans lesquels l'existence des ra« cines réelles devient ainsi manifeste, est précisément égal au nombre des racines que le théorème de Descartes permet de supposer, Tes racines sont séparées; c'est-à-dbre que l'on est assuré d'avoir, pour chacune d'elles, deux nombres qui la comprennent et qui n'en comprennent pas d'autres.

Hais il s'arrive, au contraire, que le nombre de ces intervalles 6oit moindre que le nombre des racines possibles ; et, en particulier, si les nombres entiers, substitués dans le premier membre, donnent tous des résultats de mêmes signes, on doit rester dans le doute, et recourir à de nouvelles substitulions» Mais œs substitutions ne doivent être faites que dans des intervalles •ehoisis, où elles présentent qudque chance de succès. Voici .conunent on déterminera ces intervalles.

2S&. Choix des intervalles dabs lesquels on noir faire de tfouvELLEs SUBSTITUTIONS. A.près avoîr obtenu les résultats de la substitution des nombres entiers dans le premier membre de l'équation proposée, on portera sur une Ugne droite, à partir d'une origine 0, des longueurs proportioimeUes aux valairs l, 2, 3,..., attribuées à Tinconmieâ;, et, en sens opposé, des Ion* gueurs destinées à représenter les valeurs négativea — l, — â,.

— 8,...; puis» par rextrémité de chacune de ces longneors, on élèvera (sans y apporter aucune précision) une perpendiculaire représentant la valeur correspondante du premier membre de réquation proposée, cette perpendiculaire étant portée dans un sens oi> dans rautre, suivant que la valeur est positive ou négative. Il est évident que, si Ton procédait de la même manière, non plus seulement pour les valeurs entières, mais pour toutes les valeurs possibles de œ^. le lieu des extrémités des perpendi* culaires serait une courbe ; et les intersections de cette courbe avec la droite, sur laquelle on porte les x^ ferait connaître les racines ; car elks correspondraient & la valeur de x pour laquelle, le premier membre de Téquation s'annulant, il faut porter une perpendiculaire nulle au-dessus de l'axe. Les valeurs particu* Ûères du premier membre, que nous avons obtenues, font cod>* naître des points de cette courbe, et permettent de se faire à peu près une idée de sa forme, et d'ea conclure, par conséquent, les intervalles dans lesquels Fexistence des racines est prt^ babky et où il convient de les chercher par des substitutions nouvelles»

Si, par exemple, en substituant kn; les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, on trouve pour le premier membre d'une- équation, les va* leurs

les points correspondants, qu'il faudra construire, sont placés è peu près comme il suit :

01 sa*

co

Et l'os conçoit que, si la courbe qui les rémiH coupe Taxe des d?, ce doit être entre les points 2 et 3. Cependant nous n$ sommes msléement m iroU d'affirmer que, dans les autres intervalles, il n'y ail pas de racines ; il pourrait môme, à la rigueur, en exister entre 5 et 6 (intervalle où l'inspection des résuttate précédeiUs n'en ferait certainement pas présumer). D suffirai!

que la coarbe inconnue, qui réunit nos différents points, fût suffisamment contournée.

956. Théorèms. Il existe cependant un ttiéorème, qui assigne une limite aux irrégularités que peuvent présenter les courbes analogues à celles dont il vient d'être question.

Si r équation proposée est de degré m, une parallèle à la ligne^sur laquelle onporte Us vcUeurs dex^ne peut^ dans aucun cas^ rencontrer la courbe en plus de m points.

Soit, en effet, d la distance de cette parallèle à la ligne des x; elle rencontrera la* courbe précisément aux points qui correspondent aux valeurs de x^ pour lesquelles le premier membre est égal à d. Or, en égalant le premier membre à un nombre donné, on obtient une équation de degré m, qui ne peut avoir plus de m racines. J'ajoute que souvent l'application du tbéo* rème de Descartes à cette équation donnera une limite plus petite encore.

Si l'on revient à l'exemple proposé dans le chapitre précédent, on voit que l'existence d'une racine, comprise entre 5 et 6, exigerait que la courbe pût être coupée entre quatre points an moins par une parallèle à la ligne des x^ et que, par suite, l'équation, obtenue en égalant le premier membre à un nombre d, pût avoir quatre racines positives.

&tt7. SUBSTmJT.I0N DE NOIIBRXS dQUmiSTANTS d'UN DIXIÈME.

Lorsque Tinspection des résultats obtenus aura indiqué les in» tervalles, dans lesquels on présume l'existence des racines, on devra suîistituer, dans ces intervalles, des nombres équidisUmts d'un dixième; et il arrivera, le plus souvent, que ces substitutions montreront assez nettement la forme de la courbe, pour qu'on aperçoive avec certitude les limites qui comprennent les racines, ou que l'on acquière la conviction qu'il n*en existe pas. Nous n'avons rien à ajouter sur la manière de tirer parti de ces résultats nouveaux : il faudrait répéter, mot pour mot, ce que nous avons dit au sujet de la substitution des nombres entiers.

Pour calculer les résultats de la substitution des nombres, de dixièmes en dixièmes, il faudra procéder comme pour celle

d£S différences. 249

des nombres entiers : calculer d'abord un nombre de résultats consécutifs égal au degré de Téquation, former les diOérencei qui en résultent, et chercher ensuite les valeurs suivantes par de simples additions.

S II. Êtade spéciale da cas où Téquation est du troisième degré.

Stf8. SlBfPLlFICATION RELATIVE A CETTE ÉQUATION. Soit UU pO-

lynome du troisième degré

Supposons que Ton ait substitué des nombres équidistants dont la différence soit h ; on connaît la valeur de la fonction f{x) pour une certaine valeur a?=a:, de la vatiable, et Ton a formé, de plus, A(p(j?|), à}if{x^\ ^'7(^0)- Nous aUons donner un moyen simple de calculer les différences qui correspondraient à un accroissement dix fois moindre, et que nous représenterons par ^(^a)> ^?(^o), ^*?(a?J. On a : .

Pour former A'(p(a;o), il faut prendre la différence du second membre, c'est-à-dire son accroissement quand on y change x^ en {x^+h); on aura

or, 9'(^) est du second degré, tp'(a;o) du premier et ^'(â^ est constant ; on a donc :

f{x.+h)—ff''{x,):=0; donc» en substituant, il vient :

[2] A Va?.) = hy{x.)+hy{x^.

250 UTft£ lY.

Oa trouvera de même :

ou, d'après ce qui précède,

[3] ^Yx.)=hY(x,).

Ainsi donc :

[2] AVx.) = ftV(x.)+fcV(«.),

[3] A»ç(x,)=A'ç'(ar,).

Si» dans ces formules, on remplace A par jg» on aura :

[6] a'?(^o) = j^ rc^o).

A l'inspection de ces formules, on voit que, connaissant les Ta* leurs des différences A, on formera immédiatement ^?(A|), ^i est la millième partie de ^Y^o)- ^'f (^i) se compose de deux termes dont le second est précisément ^<p(a?,) que Ton vient de former, et le premier est la centième partie de la différence ^Y^%) — ^'?(^«)» c'est-à-dire de la différence qui précède A*f (i,) dans la série des A^. Enfin ^x^) se compose de trois tm'mes; les deux derniers sont connus. L'un est la sixième partie de 2^(^i);

l'autre est la moitié de— f{x^)y c'est-à-dire d'un terme déjà

calculé pour former 5*. Quant au troisième terme— f (X|), on remarquera qu'il est la dixième partie de h^\x^), et que l'on a:

Le second membre se compose de trois termes comius, et on le calculera facilement.

En résumé :

^*<p(^e) est la millième partie de A*f (a?,) ;

A'f (a?«) est la somme de S*<p(^o} et de la centième partie du terme qui précède A*^(a?o) dans la série des A' ;

S(p(a?«) se compose de la sixième partie de ^^{x^)^ de la moitié du terme calculé pour obtenir 5'^ (a?i) et de la dixième partie de Vexpression

A^>(a?,) — - ç"(a?o) — g- f{x.), dont les trois termes simt connus.