AH

si l'on représente ces valeurs graphiquement, ainsi qu'on l'a indiqué (SStt), on voit clairement qu'il existe une racine entre rcssO et â?= 1 ; mais rien ne fait pressentir qu'il y en ait d'autres, et ne porte à essayer de nouvelles substitutions. Si, cependant, on substitue les valeurs distantes de 0,1 entre â?=l et â;= 2, on tiouve que les valeurs des différences, relatives à x=l et à un accroissement de x égal à 0,1, sont Av=— 0,461, A*y=r0,ll4, A*y = 0,054; ce qui permet de former le tableau "suivant:

Al/

id.

Id.

id.

En représentant graphiquement les résuUats qui y sont contenus, l'on voit clairement que la courbe, qui passe par les points obtenus, ne peut couper la ligne des x qu'entre le point 1,3 et le point 1,4. Substituons donc, entre ces deux valeurs, des Ta* leurs de x distantes de 0,01 : ces valeurs se calculeront, comme les précédentes, en formant d'abord, par les formules (238), les valeurs de Ay, A'y, et àfy qui correspondent à x= 1,3, et à des accroissements de la variable égaux à 0,01 : nous formerons ainsi le tableau suivant :

id.

Vu,039171

1,* -t-U,UODUUU

Ce tableau prouve que Tune des racines est comprise entre 1,32 et 1,33, l'autre entre 1,34 et 1,35.

Alg. sp. B.

258 UVAË IV.

S m. Méthode de Newton.

S6S. Exposé de la méthode. Lorsque Ton considère une fonction dans un intervalle très-peu considérable, on peut presque toujours, sans erreur sensible , regarder ses accroissements comme proportionnels à ceux de la yariable, et les représenter par le prodt^t de la dérivée de la fonction par l'accroissement même de la variable. L'erreur, commise dans cette substitution, sera d'autant moindre, que l'on prendra des accroissements plus petits. Cette remarque s'applique à toutes les fonctions, mais nous la développerons seulement ici sur les fonctions algél)riques entières, pour l'appliquer à la résolution des équations considérées dans ce chapitre.

Soient

[I] P(rr) = 0,

une équation algébrique, et a une valeur approchée d'une racine, dont nous désignerons par (a^h) la valeur exaete; ou aura évidemment :

or^ en négligeant les termes qui contiennent h à une puissance plus élevée que la première, on a, avec une approximation d'autant plus grande que h est plus petit :

Via+h)=V{a)+F(a)hi

l'équation [3] devient donc :

P(a)+P(a)fc=0;

et Ton en déduit i a= Ji^:

la valeur approchée de la racine est, par conséquent :

En désignant cette valeur par 6, et appliquant de noii\«au le même procédé, on Irouvera une valeur plus approcliée encore

et, en répétant cette opération plusieurs fois de suite, on obtiendra rapidement une très-grande approximation.

Il est impossible d'indiquer, d'une manière générale, et indépendamment de tout exemple particulier, la rapidité a<vec laquelle croissent les approximations; mais, dans chaque cas, on s'en forme facilement une idée en procédant comme nous allons le faire dans l'exemple suivant.