Appucation. Exemple I. Reprenons l'équation

nous avons trouvé que l'une de ses racines est, à 0,001 près, égale à 1,692; si nous la désignons par 1,692 -f A, ou, pour abréger par (a -|- A), h sera plus petit que 0,001 ; et nous aurons:

F(a+/^) = F(a) + /iF(a)-hj^P''(a) + Y^3r(a)==0;

par suite :

'^'^ F{a) 1.2 F' (a) 1.2.3 Fta)*

Or, pour a= 1,69S, les coeOicîents de h* et de h^ sont, Fun plus petit que 3,2, Tautre moindre que l'unité ; en sorte que Te second et le troisième terme du second membre sont moindres, l'on que 0,0000032, l'autre que 0,000000001: nous avons donc, à kmiUhmèmes fHt,

Or on a, d'après le tableau (260), pour x= 1 ,692 =a:

d*aiHeurs P((i)=3a»— 7=+ 1,588592;

Uais, d'après le rtsulUt que nous Tenons d'obtenir, la valeur »=l,69ï était eiacte, non-seulement jusqu'à 0,001, mais encore à 0,0001 près, puisque la quatrième décimale est un zéro; déplus, d'après le même résultat, pour «=1,6920, l'erreur A est moindre que 0,000025, ou ^-^ ; donc, le nombre obtenu est approché & moins de t^ï ; et la valeur de » est, avec 8 décimales,

Nous avons donc une nouvelle valeur approch.^e de la racine

représentons sa valeur exacte par

1,69202147 -l-A' = 6 + ft'i nous aurons :

0=f{6-HA')=F{i)-|-A'n6)-|-y.P'(b)+^F-(fc);

H-nft h!- ^W a;.'I!W^!:;w

aou '*— ^6) i'T-{b) 2.3F(S)'

Or A' est plus petit que t^; par suite, A'* est moindre que

cb{6. A** est plus petit que r^, et son coefficient est moindre que l'unité. Donc si l'on prend

'* — ÎW

l'erreur commise sera de l'ordre jr^. Cet exemple sufSt pour donner une idée de la rapidité de» approximations, et pour montrer comment on doit l'apprécier dans chaque cas.

S6B. Exemple II. Soit donnée Téquatiou :

P(a?)=«*— to— 5=0.

La première dérivée sera

et, par suite, le terme de correction :

, ¥(x) g*— 2rg— 5 F(a?)"^ 30?»— 2 •

Premiâre approximation. On trouve immédiatement, que la racine réelle de Téquation est comprise entre 2,0 et 2,1.

Posons donc a= 2,1 ; et partons de cette valeur pour trouver la racine x avec plus d'exactitude. En remplaçant x par 2,1, dans les fonctions ¥{x) et V(x\ nous aurons :

F (a) = 0,061 et P'(a) = 11,23;

donc A=—yi-^=— 0,0543,

et, par suite, b = 2,095.

Deuxiâmb approximation. Partant de cette nouvelle valeur ap* prochée de la racine, nous aurons d'abord :

donc P(6) = 0,005 et F(6) = 11,167;

et C=6 + Ai=2,(94 552.

L'erreur ht étant moindre que *rT| , et les coefBcients de Ai*

262 LIVRE lY.

et V étant, le premier environ -, le second r^, il s'ensuit que Terreur de la nouvelle valeur de x sera plus petite que — j.

Troisième approximation. Posons maintenant a?= 2,094 552; comme l'erreur de c est moindre que j^ et que, de plus, les coefficients de h^* et de h^* restent à très-peu près les mêmes, nous pourrons compter sur une approximation de -rjrn»

On a d'abord :

c»= 9,189109 786734; donc F(c)= 0,000005 786734, et F(c) = 11,161444 242112,

ce qui donne :

et d=c+/ij| = 2,094551 481542,

exacte à moins de rrrr..

Quatrième approximation. Pour pousser encore plus loin l'approximation de la racine, posons::

nous aurons, pour les puissances dé x ou de d:

rf* = 4,387I45 908829 787166 6977B4, et d> = 9,lB9102 963080 354769 507339;

et, par conséquent,

P{d)=— 0,000000 000003 645230 492661, Ff(Ç= 11,16143? 7264W 3615....

DES DlFFËa£NGES. 263

Donc, la valeur de At sera :

V(d) . 0,0.. .3 645230 492661 ^^ F'(rf)"*"^ 11,161437 726489 36,..*

ou A, = + 0,000000 000000 326591 482386:

OD a donc pour la nouvelle vatear :

valeur exacte à moina de j^. Un nouveau calcul donnerait la racine, à moins de jm0