RSPRiSENTATXON ORAPHIQUS DS LA irfTHOM 2>E KEWT
La méthode d'approximation » que nous venons d'exposer, peut se représenter graphi(|uement d'une manière très^simple , que nous croyons devoir indiquer ici, quoiqu'elle exige des notions de géométrie analytique.
La recherche des racines réelles de l'équation f{m)^=^0 revient à celle des points où la courbe^ qui a pour équation y => f{pô\ coupe l'axe des x. En désignant par o une valeor approchée de la racine, et par f{a) la valeur correspondante de y, Téquatiofr de la tangente à la courbe y=:f{x), au point dont les coordonnées sont a et f(a)^ est :
Cette tangente coupe l'axe des x en un point dont l'abscisse x est évidemment
c'est-à-dire précisément égale à la valeur fournie par la mé*
thode de Newton.
D'après cela, la méthode de Newton équivaut à la construction suivante :
Ayant la position approchée, P, du point 0 où une courbe coupe l'axe des x^ pour en obtenir une aulre plus approchée encore, on mène, au point M de la courbe qui se projette en P, une tangente MT; et le point T est, en général, beau-
coup plus près que P de l'intersection cherchée. En répétant la même construction, on obtiendra un nouveau point T encore plus rapproché que le précédent ; et ainsi de suite.
Il peut arriver, cependant, qu'en appliquant la méthode de Newton, on obtienne une valeur de la racine moins approchée que celle que Ton a déjà : et il importe, pour opérer avec certitude, d'entourer la méthode de quelques précautions indispensables.
267. Cas qui peuvent se PRéssNTER dans l'appucahon de LA méthode. Supposons que Ton ait trouvé deux nombres, a, 6, (a<6), qui comprennent une racine, et une seule, de l'équation /"(»)= 0; de telle sorte que f(a) et f(b) soient de signes contraires. Supposons, en outre, que ces deux nombres a, 6, soient assez rapprochés, pour que, x variant depuis a jusqu'à 6, f{x) et f{x) ne changent pas de signe. Puisque /*(«?) conserve son signe, f{x) est constamment croissant ou constamment décroissant ; et, puisque ^(a;) conserve le sien, /^(a?) est également toujours croissant ou toujours décroissant. En d'autres termes, l'ordonnée de la courbe y = f{x) va toujours en augmentant ou toujours en diminuant; et l'angle, que la tangente à la courbe fait avec l'axe des x, varie aussi toujours dans le même sens.
D'après cela, quatre cas peuvent se présenter. Si /'(a)>0, on
Fig. 2.
Fig. 1.
SB
Fig. 3.
Fig. 4.
a f(f>)<Oi par suite, f(x) diminue, et /*(«) est constammem
négatif. La courbe affecte alors Tune des deux premières formes : sayoir, la première, si r(^) est constamment positif, et la deuxième, si f{x) est constamment négatif.
Si, au contraire, f{a) est négatif, on a f{b)>0; par suite, f{x) est constamment positif : et la courbe affecte alors l'une des deux dernières formes : la troisième, si ^ (^) ^st positif, et la quatrième, si f(x) est négatif.
268. Moyen d'opérer avec CERTrrm>E. Gela posé, il est évident que, pour avoir avec certitude une valeur de x plus ap* prochée que Tune des limites a, fr, qui la comprennent, il faut, dans le premier cas (flg. 1), mener la tangente au point A, qui correspond à la limite inférieure a, c'est-à-dire, poser
il faut, dans le second cas, mener la tangente au point B, qui correspond à la limite supérieure 6, et poser
roi x-b^CJ^
Il faut de même appliquer la formule [2] dans le troisième cas, et la formule [1] dans le quatrième.
Ou remarque d'ailleurs que, dans le premier et le quatrième cas, où l'on doit appliquer la formule [l], f{a) et /^(a) sont de même signe, tandis que fH) et /*(6) sont de signes contraires; et que, dans le' second et le troisième, où Ton doit appliquer la formule [2], f(b) et fib) sont aussi de même signe, tandis que f{a) et fia) sont de signes contraires. On conclut de là cette règle générale :
Lorsque l'on connaitra deux limites, a, b, qui comprennent une seule racine de Féquation f (x) = 0, et qui en sont ainsi, chacune, une valeur approchée, si ces deux limites sont assez rapprochées pour que, X variant de a à b, r(x) et r(x} ne puissent changer de signe, on prendra la formule
266 UVftE IV.
et Von y remplacera z par ulk des deux limites qui rendra f (z) a r(z) de même signe.
Le résultat sera une vakur de x plus approchée que la Umite dont on se sera servi. En substituant cette fxileur dans la même formule^ on obtiendra une nouveUe vateur encore plus approchée; et cmei de suite.
809. Emploi sibiultané de la MérHOBE ds Newton et de la MiTHODE DES PARUES PROPORTioNNEUfS. Il cst focîk de TOtr^que la méthode des parties proportionnelles (861) donnerait pour valeur approchée x = 0&, K étant le point où la corde AB rencontre l'axe des â?. Car on a, dans chacune des figures,
a?=OP + PK, eta? = OQ— QK, ou a? = a+PK, eta? = 6 — QK,
et Ton voit que :
c*est-è-dire que les accroissements PK et QK sont proportionnels aux variations des ordonnées.
On remarque, d'ailleurs, que si la méthode .de Newton donne une valeur trop petite pour rr, la méthode des parties proportionnelles donne une valeur trop grande, et vke versa. Par conséquent, la valeur exacte de x est comprise entre les deux; et Terreur commise est moindre que leur difTérence.
RisuMi.
12^3. Opérations préliminaires à exécuter, quand on vent résoudre une équation numérique. — 2I$4. Substitution de nombres entiers consécutifs. — 2W. Choix des intervalles dans lesquels on doit faire de nouvelles substitutions. ^ 253. Théorème qui limite les irrégularités que peut présenter la courbe dont on fait usage. — 287. Substitution de nombres équidistants d*un dixième. — SS8. Simplification des calculs dans le cas où l'équation est du troisième degré. *»
259. Application à un exemple. Calcul des racines à 0,1 prés.**
260. Calcul à 0,01 près. — 261. Emploi d*une proportion analogue à eelle dont on fait usage dans la théorie des logarithmes.— 262. Exem-
pie d*ane équation à laquelle les règles précédentes s'appliquent mal. — 265. Méthode de Newton. -» 264, 268. Applications à deux exemples. -— 206. Représentation graphique de la méthode. — {
267,268. Rectification de la méthode, qui permet d'opérer ayec certitude. •— 269. Emploi simultané de la méthode de Newton et de la méthode des parties proportionnelles.
EXEBCICE8.
L Déterminer la racine réelle de réquation
On trouve : •=î,09465.
