CHAPITRE IV
AÉsorunoiv des équations tra^^scendabites.
870. But de ce chapitre. Nous nous bornerons à traiter, dan<: ce chapitre, quelques équations transcendantes, choisies parmi celles que Ton rencontre dans les applications des sciences mathématiques, et qui nous permettront d*exposer» d'une manière complète, les méthodes auxquelles les géomètres ont le plus souvent recours pour leur résolution.
% I. Application de la tliéorîe des différenccB à la résolution des éqaalions
transcendantes.
971. MÉTHODE DE RÉSOLUTION. La méthodc, que nous appliquons aux deux exemples qui vont suivre, est très-fréquemment employée; elle consiste à substituer dans l'équation proposée des nombres équidistants, absolument comme dans le cas d'une équation algébrique. Lorsque Ton a trouvé deux substitutions qui donnent, dans le premier ipembre, des résultats de signes contraires, on conclut qu'il existe une racine entre les valeurs correspondantes de x; et dans l'intervalle on substitue des nombres plus rapprochés, qui permettent de resserrer la racine entre deux limites nouvelles et plus étroites. Gela fait, on considère le tableau qui comprend : 1* les valeurs attribuées à l'inconnue ; 2<* les valeurs correspondantes du premier membre de l'équation ; 3' les difTérenccs des divers ordres qui s'en déduisent. S*iJ arrive que les différences d'un certain ordre, du troisième par exemple, soient négligeables, on en conclut que la fonction peut être remplacée, sans erreur sensible, dans Tintervalle considéré» par une fonction algébrique (du second degré, si la différence troisième est considérée comme nulle). La théorie de l'interpolation fera connaître cette fonction ; et, en la substituant au premier membre de l'équation, on aura ramené le problème à la résolution d'une équation du second degré.
Si les différences du second ordre étaient négligeables, on ramènerait l'équation à une équation du premier de.rré ; et la
méthode reviendrait à l'emploi des parties proportionnelles» dont on fait usage, dans un cas analogue, en se servant des tables de logarithmes.
S72. Exemple I. Soit donnée Téqualion
équation qui se présenU^ en mécanique, dans V étude de la chatnette.
Nous voyons que celte équation ne change pas, lorsqu'on remplace x par ( — x); par conséquent, à chaque racine correspond une autre racine égale, mais de signe contraire.
Pour mieux étudier celte équation, posons : *
y = e* — e-*, et y = 5,284x;
nous aurons alors les équations de deux lignes, dont les points d'intersection ont pour abscisses les racines de Téquation.
La première de ces deux lignes AA' est une courbe transcendante, n'ayant qu'une seule branche inGnie dans les deux sens. Cette branche, qui a pour asymptotes les lignes logarithmiques dont les équations sont :
ap = log y et — a? = log y ,
passe par l'origine des coordonnées, qui est, en même temps, son centre.
La seconde de ces deux lignes BB' est une droite qui passe également par l'origine.
Gomme les deux lignes passent par l'origine, l'équation est vériGée par rc = 0. En outre, il est facile de voir qu'elles n'ont qu'une seule intersection du cdté des x positifs ; par conséquent, l'équation a une racine positive que nous allons déterminer.
Mettons d'abord Téquation sous la forme,
UVR£ lY.
et diercbons les valeurs que prend cette fonction pour des valeurs entières de la variable x. Nous aurons :
e-= 1, e*= 2,718, eF= 7,389, e* = 20,086,
«1 = 0; «I = — 2,934; ii, = — 3,314; u. = -f 4,184.
La racine est donc comprise entre 2 et 3. Si maintenant nous cherchons les valeurs de t«, correspondant à (P= 2,5, â7 = 2,6,rr=2,7..., nous aurons:
fl? = 2,5,
tt = — 0,3489;
et la racine est comprise entre 2,6 et 2,7.
En partageant cet intervalle en dix parties égales, et en calculant les valeurs intermédiaires de u avec leurs différences, nous aurons le tableau suivant :
Au
Les différences du second ordre étant peu différentes, la fonction u«, prise entre x = 2,64 et x = 2,65, peut être considérée comme une fonction algébrique du second degré. On appliquera donc la formule d^iuterpolation de Newton,
v.=tii4
55— api
dans laquelle on devra poser: â?t = 2,64 A=0,01;
tio=»— 0,00792, Au. = 0,08871, AHi» = 0,00140.
DES DIFFËAENGES, 271
Gomme â?--â?i esl la correction à faire à la valeur approchée
X9y — ~ sera le nombre de centièmes de cette correction.
Donc, en nommant z le nombre de centièmes que Ton doit ajouter à 2^64 pour former la racine, on a :
et u« devant être nul, on en déduit :
"• ■* Au, 1.2 *Amo*
Pour résoudre cette équation du second degré, on peut pro^ fiter de ce que z est très-petit, pour négliger d'abord le second terme du second membre, et prendre comme première approximation :
Puis remplaçant z par cette valeur dans le second membre de l'équation [1], on trouve plus exactement :
par suite, la valeur de x est :
S75. Exemple IL Résoudre Téquation
[1] a sin*a5 = sin(a? — ç),
équation importante qui se priserUe dans le calcul des orbites des planètes. Soient donnés :
log a = 0,5997582, et g=13*40'5>l.
Gomme nos tables ordinaires ne donnent pas les valeurs des sinus naturels, mais celles de leurs logarithmes, nous prendrons les logarithmes vulgaires des deux membres de l'équation ; ce
qui du reste simplifiera beaucoup le calcul. L*équation se présentera alors sous la forme
log a + 4 log sÎD a?= log sin (a? — ç), ou
[2] u, = log a -f 4 log sin a? — log sin {x—q) = 0.
Pour obtenir une première valeur approchée de x^ posons
d'abord :
nous aurons : log sin x = T,3734
4 log sinâ;= 3,4936 log a =0,5998 et (?logsin(rg— g) — 10 = oo
donc w«=+«>.
De la môme manière, nous trouverons pour â;= 14*:
logsinaî=ï,3837
4 log sin 0?= 3,5348 log û = 0,5998 et CMogsinÇa? — ^) — 10 = 2,2371
donc w.= -|-0,37i7.
De cette diminution rapide de la fonction u«, nous pouvons conclure, avec quelque probabilité, que la valeur â?=14*est très-rapprocbée de Tune des racines de l'équation.
En effet, on trouve par des substitutions directes :
La racine est donc comprise entre 14*30' et 14*40'. Partageant cet intervalle en deux parties égales, on aura :
pour X = 14«35', w.= + 0,0005.
Par conséquent la racine est comprise entre 14«35' et 14*40'; et elle est très-près du premier de ces deux nombres.
Pour obtenir une valeur plus approchée de x^ cherchons, à 7 décimales, les valeurs de la fonction u« correspondant aux valeurs de x^ de dix en Jix secondes, depuis a?=: 14*35'; et formons le tableau suivanti après avoir pris les différences successives :
Àti
On voit que, pour des valeurs de x équidistantes et assez voisines, les différences secondes de la fonction u« sont à peu près égales; donc le premier membre de l'équation proposée, dans les limites restreintes que nous lui avons tracées, peut être considéré comme une fonction algébrique du second degré.
En procédant comme dans le cas précédent, on trouve :
et en substituant les valeurs de t»a, Auo et A'uo contenues dans le tableau, savoir :
Aua=— 0,000 9924,
nous aurons :
ou
jr«—497,2if + 243,5 = 0;
et, en prenant la plus petite racine de cette équation du second degré (la plus grande surpasserait 596), on a :
JK = 0,4902267...
Dans ce calcul, nous avons pris pour unité d'intervalle Parc de Alg. sp. B. 18
274 UVRK IV.
dix secondes ; la correction sera donc = 4%d02, et la racine, exacte aux millièmes de secondes, est :
Si nous voulons vérifier ce résultat, nous trouverons :
a? — g = 54'59'\892, Iogsina? = î,401 07445
4logsin 0^=3,604 2978
log a = 0,599 7582
et OlogsinÇg— g)— 10=1,795 9440
donc u«=0;
le résultat obtenu est exact.
Hais réqoation [1] étant une équation transcendante, outre cette première racine réelle, il peut y en avoir encore une ou plusieurs autres, ou même une infinité.
En effet, lorsqu'on continue les recherches, on trouve encore sur la première circonférence du cercle, trois autres racines
Xi = 32* 2'28^,
aï,=:137*27'59%
Xt=: 193« 4'18"';
de plus, à chacune de ces quatre valeurs de x, correspondent une infinité d'autres, positives ou négatives, et qui sont toutes comprises dans l'expression générale
x + hx 360«, k étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.
S n. Résolution des équations transcendantes par la méthode
des substitutions successives.
1174 HÉraoBE des substitutions successives. La méthode, que nous appliquerons à l'exemple qui vasuivre, est d'un emploi très-commode dans tous les cas où la nature du problème permet de l'adopter. Voici, d'abord, d'une manière générale, le principe sur lequel elle repose.
Soit s^=^{x)
une équation (mise, comme on yoit, sous une forme particuliëre) ; et supposons que Ton ait trouvé une valeur approchée a de sa racine : on aura, par suite, approximativement :
a?=(p(a); soit b cette valeur; en Tadoptant, on trouvera :
soit c cette troisième valeur; on en déduira :
et la série des nombres a, h^c^d...^ qui peut se continuer indéfiniment, convergera, quelquefois, très-rapidement vers la véritable racine.
Pour apprécier la rapidité de cette convergence , nommons (a -4- h) la valeur exacte de la racine; nous aurons :
Or, la fraction y(a+A^-y(a)
diffère peu de la dérivée f' (a). On a donc , en désignant cette fraction par ç' (a) + « :
donc a+ft=A<p'(a)+9(û) + ^»
et, par suite, (a + fc) — <p (a) = h^' (o) +^ ;
Terreur commise, en prenant 9 (a) pour racine, est donc, à trèspeu près , hx^' (a), c'est-à-dire le produit de Terreur précédente h par (p' (a). On voit que Terreur diminue, si 7' (a) est moindre que 1 ; dans le cas contraire, la méthode n'est pas applicable.
271t. EXEMPLE. Déterminer les racinjs réelles de Téquation
yx
LiVIlE IV.
II est évident que cette équation ne peut pas avoir de radnes négatives, parce que, pour un x négatif, le radical deviendrait imaginaire; nous n*avons donc qu'à nous occuper de la recherche des racines positives.
Le calcul deviendra plus simple, si nous prenons les logarithmes vulgaires des deux membres; l'équation devient alors :
elle est ainsi sous la forme qui permet d'appliquer la méthode.
En posant y = rr, et y = ^ log rc -j- 5,5 1 78238,
nous aurons deux lignes, dont les abscisses des points d'intersection représentent les racines de l'équation.
La première est une droite, bissectrice de l'angle des coordonnées orthogonales; la seconde est une ligne logarithmique, formée par une seule branche infinie, et ayant pour asymptote l'axe des y. Les deux lignes se coupent en deux points ; le premier trèsvoisin de l'origine; l'abscisse du second est comprise entre 5 et 6. Il ne peut y avoir d'autres points de rencontre ; et, par suite, l'équation n'a que deux racines positives.
Gomme la valeur du terme connu de l'équation [1] est près de 6, posons, en premier lieu : â?= 6, et substituons cette valeur dans le second membre de l'équation [1] ; nous aurons alors une valeur de x plus rapprochée que la première,
jT = ^ log 6 4- 5,5178 = 5,9069.
V En substituant cette seconde valeur de x dans l'équation [l], nous aurons :
l^log 5,9069 -f- 5,517 8238 i= 5,903 5036,
Poursuivant ce procédé , nous obtiendrons pour la troisième substitution :
or = ^ log 5>903 5036 + 5,517 8238 = 5,903 3787 ; ensuite : â; = ^log 5,903 3787 + 5,517 8238 = 5,903 3741, puis : a; = iIog 5,903 3741 -f- 5,517 8238, on â;= 5,903 3740.
Le dernier résultat est exact i sept décimales; car on trouve :
log a? = log 5,903 3740 = 0,771 1004
donc : ^ log a; =0,385 5502
5,517 8238 d'où Jl0ga?+5,5178.... = 5,903 3740=a?.
Si nous reprenons les considérations générales, par lesquelles nous avons commencé ce paragraphe, nous verrons, en les appliquant à l'exemple actuel, que Ton a :
«p (a?) = i loga? + 5, 5 1 78238,
Or, X étant à peu près égal à 6, cette valeur de 9' (x) est à peu près ^; et, par suite, chaque valeur obtenue est environ vingt fois plus approchée que la précédente.
Il nous reste encore à évaluer la seconde racine de l'équation
[I] a? — i log X— 5,517 8238 = 0,
racine qui est comprise entre 0 et 1 . Gomme x est nécessairement une fraction très-petite, nous pouvons négliger le premier terme de l'équaUon, qui deviendra alors :
îloga? = — 5,517 8238,
log « = — 11,035 6476
d'où Ton tire x= 0,00000 00000 0921 1 97, valeur exacte k dix-sept décimales.
S IIL Résolution des équations transcendantes par la méthode de Newton.
576. Exposé de tu hétbode. La méthode de Newton s'applique , sans modification , à la recherche des racines d*ane équation transcendante, pourvu que Ton en connaisse toutefois une première valeur approchée.
Soit, en effet,
une équation ; et soit a une valeur approchée de la racine, dont nous représenterons la valeur exacte par {a+h).
On aura : P(a + A) = 0;
mais le rapport h
diffère peu de F' (a) ; et Ton a, par conséquent, en désignant par s un nombre très-petit :
d'où Ton déduit, en remarquant que F (a -f A) est nul :
h= ER-.
et — p4-t est, par suite, tme valeur approchée de A.
