CHAPITRE II

SUR LES EXPRESSION mAGIlVAIRES.

§ I. Calcul des ezpreMions im8g;lnaires.

100. But dk L'nmiODucnoN des expressions iHACiNAmEs DANS LE CALCUL. La résolutioD des équations du second degré conduit» dans certains cas, à des expressions qui n'ont aucune valeur numérique, et qui renferment l'indication d'opérations impossibles à effectuer. C'est dans un but de généralisation, que Ton a été conduit à employer ces expressions imaginaires. Nous avons vu, par exemple, qu'en les adoptant, on a l'avantage de pouvoir énoncer, sans restriction , des théorèmes tels que les suivants :

Toute équation du second degré a deux racines.

Dans toute équation du second degré, de la forme ^-{-px -f- 9 = 0, la somme des racines est égale au coefficient du second terme, pris en signe contraire ; et leur produit ^t^nl au terme tout connu.

Ces avantages, qui dans le cas que nous citons, sont à peu près insignifiants deviennent très-importants dans la théorie générale des équations.

Les expressions imaginaires peuvent aussi être introduites utilement dans la solution de quelques questions, comme nous le montrerons dans ce chapitre.

9BL J>itrmai0M et com^khtions. On donoe le nom d'ex* pression imaginaire h une expression de la forme a^j-t/ -^li — K désignant un nombre négatif, v^— K u'est pas un nombre, en ce sens qu'il ne peut servir de mesure à aucune grandeur; mais il peut figurer utilement dans les calculs , d'après cette condition que son carré soit toujours remplacé par — R. Si l'on applique, en autre, aux nombres imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels, les opérations relatives à ces nombres seront suffisamment définies, et fourniront toujours, comme on le verra, des résultats de même forme qu'eux.

202. Type de l'expression imaginâibe. — K , étant négatif, peut être représenté par un carré pris en signe contraire, — b^ :

le type d'une expression Imaginaire devient alors a + ^— à\ que l'on écrit souvent :

Rebiarque. On substitue à v^ — 6* l'expression b v/— 1, en vertu de la convention faite plus haut : appliqiber aux nombres magiflaires toutes les règles démontrées généralement pour des norrUn'es réels. En effet, — 6* peut être considéré comme le produit 6"X (—1): et, en vertu d'une règle démontrée généralement pour les nombres réels, on peut faire sortir le facteur b^ du radical.