Expressions imaginaires coNJUGUâES. Quels que soient
les nombres réels a et 6, l'expression imaginaire, (a-j- 6 v^— i), est la racine d'une équation du second degré,
La seconde racine de cette équation est, comme on le voit focilement, a — &/ — l.
Les deux racines (a + b ^—l) et (a — 6 ^—l) se nomment des expressions imaginaires conjuguées : leur somme est réelle et égale à 2a et leur produit égal à (a* -f 6»).
294. Puissances de v^— i. Dans les calculs que Ton effectue sur les expressions de la forme (a + b /Zl), on applique (201) à ces expressions toutes les règles du calcul algébrique, en opérant comme si v^— 1 était un nombre. Quelques géomètres représentent ce symbole par une lettre i; et, dans les résultais, ils remplacent i* par — I : les puissances successives de i ou ^— 1 se trouvent par là déterminées : car on a :
et ainsi de suite. On a, en général, n désignant un nombre entier :
Toutes ces conventions sont nécessaires, si Ton veut pouvoir appliquer aux calculs faits sur les expressions imaginaires, les règles générales relatives aux nombres réels. Elles permettent de démontrer le théorème suivant, qui est fort important.
295. Produit des expressions imaginaires. Théorèue. Si ton considère un nombre quelconque (Texpressions imaginaires,
(a. + h>/^^)j (a^+bx/^), (û,+&,v/^),-..(a^+6.v^=r),
que. Von effectue leur produit diaprés les règles de la multiplication
algébrique^ en remplaçant les puissances de ^^^ par les valeurs indiquées plus haut; quel que soit l'ordre dans lequel on opère, le résidUU sera identiquement le même, c'est-à-dire que l'on obtiendra
la mime partie rieUe et le même coefficient riel pour ^ — 1 .
Si nous remplaçons, en effet, ^ — l par ♦, on sait que le résultat sera identiquement le même, quel que soit Tordre que Ton adopte pour les multiplications successives; et que les coefficients des mêmes puissances de i auront, dans tous les cas, les mêmes valeurs. Si donc, dans les polynômes identiques, on remplace les puissances de i par les valeurs indiquées plus haut,
savoir : i** par 1, i**" par v'^, i*»+' par— 1, i*^ par— v^^, les résultats ne sauraient être différents ; or il est tout à fait indifférent de remplacer, à la fin du calcul, chaque puissance de i par sa valeur, ou de faire successivement les substitutions après chaque opération partielle : car ces substitutions se réduisent toutes à remplacer le produit de deux facteurs égaux à i par le facteur — I ; et peu importe qu*on le fasse en une fois ou sucessivement.
806. Application. Nous donnerons immédiatement tme ap* plication du théorème précédent.
Considérons le produit :
si on multiplie les deux premiers facteurs» on trouve :
et, en multipliant les deux derniers, on trouve :
(a—b )/^^ (c— (f v^=T) = (oc— M)— (ad+6(?) /^; en fiorte que Ton a ;
P=[(ac— 6d) + (ad+6c) )/^^][{ac^b(ï)—{ad+bc)f=^,
ou, en effectuant :
P =(ac — 6d)» + (ad + bc)\
D*un autre côté» en multipliant le premier facteur par le troisième, et le second par le quatrième, on a :
donc : P « <a*+6*) ((?» + d*) ;
ce qui donne la formule ;
laquelle est, du reste, extrèmemwt facile h vérifier.
S IL JnlradiictiaD tes lignes trigonométrîqnes dans les tas^nmkm
imagiaams,
Jt97. jrORH£ nOUYEIXE D£ L*£XPaESSI0N IMAGINAIBS. LeS eX«
pressions imaginaires peuvent se mettre sous une forme parti' culière, qui simplifie souvent les calculs auxguete on doit Jes soumettre. .
RESOLUTION DE QUELQDIS QUESTIONS IMPORTANT , Sôit l'expressioD a + fr /— Tï
si l'on pose :
[1] a=pcoS7, 6 = pBinf,
on poaiTH, quels qae soient a et b, troarer pour p ui positive, et ponr f une valear moindre que Sn, qui sal h ces deux équation^; il sufBra de prendre :
[3] p»=o»+J», tangT=^.
Les équations [3] et [4] se déduisent, en effet, des é [I] et [S], en ajoutant leurs carrés, et en les divisant m membre.
Réciproquement, si p et f ont les valeurs indiquées équadons [3] et [k], on aura :
CÛSç^ —
Bln9 = -
div'i + tang> -tW'i,.5| ±\/6' + el, en remplaçant j/ft'+a' par f,
c'est— dire o:=±pcosç, &=d:psiaf ;
ce qtû ctânàdera avec tes équations £1] et [S], si Ton 1 prendre pour f celui des deux angles qui, ayant pour
^ a son sinus de mâme signe «foe p.
D'après ce qui précède, une aspressioa imaginaire {opeut toujours se mettre sous la forme
p (w8 f + }/—î ma f).
et ne peut évidemment s'y mettre que d'une seule manière, (p devant être positif et 9 moindre que 2ic).
P se nomme le moduU et 9 Yargumtni de cette expression imaginaire. Nous allons voir qu'il y a un avantage de sJmpL'cité à mettre les expressions imaginaires sous cette forme.
898 Multiplication des expressions imaginaires. Soit à mutiplier les deux expressions :
p ((îos <p + /^ sin <p) , p' (cos ç' 4- V^— f sin ç').
En effectuant le produit, et en remplaçant seulement le carré de v'--^ par — 1, on trouve :
pp' [cos f cos f ' — sin <p sin îj»' + /^ (cosf sin V-fsin^ cos ç*)]
= pp' [cos (9 + (pO + V^^ sin (ç + çO]-
Par conséquent, pour multiplier, l'une par Vautre, deux expressions imaginaires, il faut multiplier les modules et ajouter les arffuments.
La règle précédente permet évidemment de faire le produit d'un nombre quelconque d'expressions imaginaires.
999. DiTisiON DES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. Pour dhiser, Fune par Vautre, des expressions imaginaires, il suffit de diviser les modules et de retrancher les arguments. On a :
p(cos«-|-\^ — i sin 9 P- , ^ , / — 7 . , ,^, P (cos ç' + V -- 1 sm ff' P
En effet, celte égalité devient évidente, si l'on chasse le dénominateur, et que l'on effectue la multiplication du second membre, d'après la règle donnée précédemment.
