RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME
DEGRÉ. Reprenons actuellement l'équation,
[i] a^+px + g^O,
à laquelle peut se ramener (506) toute équation du troisième degré ; posons, pour la résoudre :
x=^y+z; elle deviendra :
ce que l'on peut écrire : .
y et JT étant assujettis à la seule condition d'avoir pour somoïc la racine cherchée a?, nous pouvons établir entre elles une relation arbitraire, et poser
[2] 3yz+p=0;
réquation devient alors :
Or, on résoudra les équations [2] et [3], en remarquant qu'elles font connaître la somme et le produit des quantités ^eiz*; on a, en effet :
y^ et js* sont donc les racines de Téquation,
et, par conséquent» ces deux quantités sont respecti?ement :
On en déduit :
509. Nombre des racines fournies par la formule. La formule précédente exige quelques explications. Un nombre quelconque A a trois racines cubiques , puisque l'équation af=:k admet nécessairement trois racines. Pour obtenir ces trois racines» il suffit d'en connaître une seule, et de la multiplier successivement par a et par a'; ce qui, évidemment, ne change pas son cube (507).
D'après cela, la formule [4] qui donne la valeur de x^ semble fournir neuf solutions ; car chaque radical a trois valeurs, et rien n'indique la dépendance à établir entre elles. On doit remarquer pourtant, que cette dépendance existe; nous avons, en effet:
le produit des deax radicaux doit donc être réel et égal à
326 A^IȣNDICK.
Soient, d'après cela, A et B deux valeurs des racines cubiques remplissant cette condition ; de telle sorte que l'une des racines de Téquation proposée soit :
les ¥aleoi-s de y et de z sont j outre A et B :
aA, «*A,
et 11 est clair que, le produit AB étant réel, les seules combinaisons qui puissent également donner un produit réel, sont :
â?,=aB+«*A^
et le nombre des solutions se réduit à trois, comme cda devait être.
§ II. Conditioos de réalité des racines deréquatioa (c'-f-P^+f+O-
SIOl Examen des cas qui peuvent se présenter^ On peut reiMrqo^ é'abord que les équations
(a^ + px+q^O,
ont leurs racines égales et de signes contraires ; car» si Fhypolhèse «?=::a vérifie Tune, Thypothèse œ=^ — « satisfera à l'autre.
D*a(>rè6 cela, nous nous bornerons à cbercher dans quel cas l'équation
[1] a^'\-px+q=0
peut admettre trois racines réeUes, q désignant un nombre positif.
La règle de Descaries nous apprend tout d'abord, qu*il faut nécessairement que p soit négatif. S'il en était autrement.
réquation [1] n'aurait, en effet^ aucune variatlûn; et la transformée en — X
— a;*— px+a = 0
n'en aurait qu'une seule. L'équation aurait , par suite, une seule racine négative, et n'aurait pas de racines positives. '
Sil. Conditions de râauxê. Examinons donc le seul cas où p est négatif. L'équation a alors, d'après la règle de Descartes, une seule racine négative ; elle peut avoir deux racines positives» ou n'en pas avoir du tout. Ce sont ces deux cas que nous voi? Ions distinguer.
L'éqnattion proposée peut s'écrire :
p étant un nombre positif.
Si X vaiie de ^ à |/^^ le produit xK^p — rr*) eald^abord jmL; il augmente jusqu'à un certain maximum ; puis il diminue, et
redevient nul pour a?= y/^^. Si donc le maximum surpasse q^ H y .aura deux vaieuis de x^ pour lescpieUes ce {tFodnit seca égal à (7; et réqoatiim aura deux xacines positives, moindres gne
yj^f. sa le maximum do second membre est .moindre que 4, l'égalité est impossible pour les valeurs de.» comprises entre 0 et
^ — p, et, par suite, pour toutes les valeurs positives de x; car le second membre deviendrait négatif, si a^ était plus grand que *^p. S*il arrive enfin, que le maximum du second membre soit précisément égal à g, l'égalité Tie pourra avoir lieu que pour une seule valeur de x; et les deux racines deviendroiït égales.
La condition de réalité des trois racines s'obtiendra donu en cherchant le maximum de
et en écrivant qu'il est moindre que q. Or, ce maximum correspond à la valeur de x qui rend la dérivée égale à zéro, et qui satisfait, par suite, & l'équation :
Pour celte valeur, W — |, le produit x{—p—x^)^ deyient :
la condition de réalité des trois racines est donc :
OU 4p»+27^«<0-
Il faut en outre, comme on Ta yu, que p soit négatif; mais celle condition est évidemment nécessaire à l'exactitude de Tioégalité précédente; et il est inutile de la mentionner à part.
5i8. RÉSUMÉ. D*après ce qui précède, et en nous servant des principes généraux de la théorie des équations, nous poavons établir les propositions suivantes, relatives à l'équation
[1] s^+px+q^O.
V La somma des trois racines est égale à zéro. Si Tune d'entre
elles est imaginaire et de la forme (a+p v^—ï), il y aura nécessairement encore une autre racine imaginaire de la forme (a^Py/lIT); et il n'y en aura qu'une seule.
2« Le terme tout connu est égal au produit des trois racines pris en signe contraire. Si deux équations de la forme [1] ne difièrent entre elles que par le signe du terme connu, leurs racines seront respectivement égales, mais de signes contraires.
Ainsi, par exemple, les racines de l'équation,
«»— 39x+70=0, étant 2, 5 et — 7, celles de l'équation
a^— 39x— 70=0 seront —2, — 5 et + 7.
Z" Lorsque p est positif, l'équation admet deux racines imaginaires.
RfiSOLUTIOIf DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES . à29
4<» Lorsque le p est positif, Téquation admet deux racines imaginaires.
^ Lorsque p est négatif y Téquation a trois racines réelks et
inégales f si (f7 + 4-) ^st négatif; elle a trois racines réelles j dont
deux égales, si (17+4) ^st zéro. Enfin elle a deux racines imar
ginaires, si f ~ +^j est positif.
Ainsi, par exemple, les équations suivantes ont :
ir»+100a?dbl6=0
. ±16=01 r^c*^®^ imaginaires ;
a;»— 7a?dbl6=0
a? — 1 2a? di 1 6 = 0 2 racines réelles égales ;
a;"— 20a?±16=0)„ . x n • z 1 -• 1 /^/^ L- 1 .. A 1 3 racines réelles inégales.
S ni. Résolation trigonométriqae des équalions du troisième degré.
515. Cas des RAaNES réelles. Nous allons maintenant montrer comment, à l'aide des fonctions trigonométriques, on peut déterminer directement toutes les racines, réelles ou imaginaires, d'une équation du troisième degré.
1*' Cas. Racines réelles. Condition :
Lorsque l'équation [1] a ses trois racines réelles et inégales, la quantité sous le radical du second degré (50B) est négative ; et la valeur [4] de x estia somme de deux quantités imaginaires* Pour la débarrasser de ces symboles imaginaires, posons :
— |=pcosç, et ^ + ^7=-p*sm»o;
330 ÀPP£NIMCfi.
la formule [4] deviendra :
a;=:v^pcos(p-:|-psin(pv/ — l-j- Vpcosf — psmçv^--i et, d'après la formule de Moivre (502)> on aura :
a;= V^p. feos-î-ï^ f-smi-t^ — -V— ÎJ
+ V^p. (^cos^^-i^^ aiûX:i- — , ^— 1 \,
formule où Ton doit donner à ft ks dateurs 0> 1, S. S faut bailleurs que A; ait la même valeur dans ces deux termes, pour que le produit yz soit réel.
On aura donc : a; = 2 v/p. cos ^""^ ■ ^, ce qui donne, pour les trois valeurs de k : a? = 2v'p-oos|, «^p.co8(|+120»V S^-cosf| + 240*V
ou
a?=2 v^pTcosi, — 2vyp'Cosr6(p— ^-V îyp.cos n*o»— ly
Pour déterminer les lodeucs de f et de f Op étant ^ascatieikment positif)» on a :
p«cos*9 = l\ ptsin»9=Ç + ^,
donc:
g. OD P=y/-f7,
et tOSY:=î=— ^.
Remarque. Si la valeur, que la formule précédente asâgne à cos 9, est négative, on cherchera dans les tables Tare 9', qui a pour cosinus le même nombre pris positivement; et 9 sera le supplément de 9'.
514. Exemple I. Partager un hémisphère en deux parties égales par un plan parallèle à la base.
Soient : x la distance du plan sécant au centre de la sphère ;
y le rayon de la section circulaire ;
f sfi: 1 ie rayon de la sphère.
On aura Véquation :
2r*Tc, . ary'ic r*w
Or jf»=i:r* — ic*;
donc 2(1 — x) — x{\ — a^) = i-
éqaafioA qui donnera la Taleur de x.
Nous avons Ici : p£=— 3, q=^l;
donc: p=y^g=i, etcos9=-^p=-i;
donc f=l20», et | = 40«.
Les trois racines de Fêquation proposée sont donc :
a?i= 2COS40*= 1,5320888, a;j=— 2 COS20*=— 1,8793852, Xi= 2cos80*= 0,3472964.
On vérifie que a?4 + ari + a:» = 0.
Parmi ces trois racines, il n'y a que la dernière qui réponde au problème proposé; car seule elle est positive -et inférieure au rayon de la sphère.
5it5. Exemple II. Déterminer les abscisses des points d^inter^ section de la parabole x*= 4y, et de l'hyperbole 4xy = 7(x — 1) Par élimination de y, on obtient Fêquation :
dont les racines déterminent les abscisses des points d^tersection. On a :
log (—p«) =2,53529412 log g = 0,84509804
log 27 =1,43136376 GMog 2 — 10=J,6989700O
log p«= 1,10393036 CMog p — 10 = 1,44803482
iOgp = 0,55196518 logCOS(p'= 1,99210286
log rp = 0,18398839 h" »^/^36V95
=66*22'7'',935, (ôO»- 2^ =3» 37' 52", 065, ^120»— 1)= 63* 3r 52^,065
log COS =î, 7433874 log COS = î,9991272 log COS = 1,6475281
log 2 = 0,3010300 =0,3010300 =0,3010300
log ^p = 0,1839884 = 0,1839884 =0,1839884
log ar^ =0,2284058 log(-rc«)= 0,4841 456 log ar, =0,1325465 Xi = 1,692021 , a^=— 3,048917, a^= 1,356893
Vérification.
Xi = 1,692021 log Xi = 0,2284058
Xi =—3,048917 log iT, = 0,4841456
Xi= 1,356896 log ir, = 0,1325465
Xi + Xi + Xt= 0. log Xi XtXi = 0,8450979
Xi Xf X^ — I m
