Exemple I. Soient dormies les deux iquations

^\^^kxy'\'Zs?—%y — 15a?=0 {ellipse),

!/■ — 2a?y + a^+ 2y — lOo? =s 0 {parabole).

Ces deux équations^ combinées ensemble, donnent l'équation

et l'on obtient pour l'équation [8] ;

3k% 4Praaïmcfi.

Cette éfBatiOD a iioiixacîiieB xéeUes et négatinefty |pii eoil

étant positive on nulle pour chacune des trois valeiirs demies courbes données admettent trois systèmes de sécantes communes réelles, dont les.p(Miit6ii*iiiterfiectiaa£e eonfandent avec ceux des deux courbes.

iliie>8*agitpki8 qiie^âe.délenBhier'âfiiiKSfSlèmeB'Aevé^ e t Ae checdier leurs .pimte de* reiKoalre.

Pour ^=—1,

leS'deoK'éqBiÉâens 4m premier degr^oot :

syiStSme de deux droites parallèles.

Poor ^t=— ¥,

noœmiroiw: V='i — ^^^^("i"^^)*

Les points d*intersection des quatre sécantes sont :

Ces quatre pwnti^al les Momete i'tm traptee ^nt les côtés sont formés par les quatre sécantes. Les deux autres sécantes, correspondant à >=— |, serMiRt tes ^SKgoaakfs an tnpëEe.

a?y — 3a;-f- 6 :sO' (AipHédliX

RÉSOLUTION DE QUELQUES /QUBStTIONS IMPORTANTES. 34B

Si, dans la première de ces deux équations, on substitue à y sa Ysdeur tirée de la seconde équatloDi

on obtient immédiatement Téquation du troisième degré :

rc»— 27a? +54=0,

dont les racines déterminent les points d'intersection des deux courbes. Cette équation a trois racines réelles, deux positives égales, 5?= 3, et une négative, 3?= — 6. A ces deux abscisses correspondent les ordonnées

y=l et y=*A;

donc les deux courbes se touchent au point (3,1), et se coupent au point (—6,4).

526, Exemple III. Soient données Us deux équations

y^-\-Q? — ^fia?=0 {cercle), %xy — 1 = 0 {hyperhole)\ Téquâtion rësultant de la combinaison sera :

y«-|-2Xa;y+a;*~ 2a? — X=0

et en écrivant que cette équation représente deux droites, on trouvera :

Cette dernière équation a une racine réelle et deux xacines imaginaires*

Pour évaluer la racine réelle, nous nous si^virons des formules données (516) ; nous aurons alors :

log sin eu =1,585 3461, log taiig|=ïjaQl a7fi3; logtang®=T, 767 1261, lOg^in-29=î,940 31459, ]ogX=0,l22 1235, J^:^ 1,884 718-;

la quantité h ^kQ}— 1 ) ou ^, étant positive pour la valeur 9e X

que nous venons de trouver, les deux équations du premier degré,

y=— Xa?±:--=:(a?+X),

auront leurs coefficients réels ; et, par conséquent, les deux courbes admettent un système de deux sécantes réelles communes.

En substituant ces deux valeurs de y dans l'équation :

2xy — 1 = 0, on arrive à Téquation du second degré :

Pour que les valeurs de x soient réelles, il faut que l'on ait :

— Xii:-1>0.

Si nous prenons le signe inférieur, le premier membre devient négatif, et la condition de réalité n*est pas remplie ; par conséquent, la droite

ne rencontre pas la courbe.

Si, au contraire, nous prenons le signe supérieur, le premier membre devient positif, et la sécante

rencontre la courbe en deux points.

En substituant à X et v/X leurs valeurs numériques» la dernière équation deviendra :

équation qui, combinée avec celle de la courbe,

2a;y— 1=0, donne les deux solutions réelles des équations proposées,

0? = 1,967160, y=0,254l73, et a?=0,557424, y =0,896791.

S87. Exemple IV. Résoudre les deux iqtMions :

*y' + 9a;* — 36a? = 0 (ellipse)^ ary— 12=0 (hyperbole) L'équation de condition est :

Cette équation a ses trois racines réelles ; la première positive, et comprise entre 13 et 14 ; les deux autres négatives, et comprises entre — 3 et — 4, et entre — 10 et — 1 1.

Parmi ces trois racines, il n'y a que la première qui rende positive la quantité

par conséquent, il n*y a qu'un seul couple de sécantes réelles, dont l'équation est :

Xa;

VK'+D'

mais nous allons démontrer directement qu'aucune de ces deux droites ne peut rencontrer les courbes ; car en substituant la va* leur de y dans la seconde des deux équations proposées,

apy— 12 = 0

346 APP&KOICfi.

oax>btieiit les deux équations du second èpgré

La condition de«6aUté'deBTaleiirs»deir*dit:

OU ~^±2kiUj>o.

Il est évident que cette condition n*est pas satisfaite, lorsqu'on prend le signe négatif; car alois tous lee .iermeB àa mipmhfw^ .à gauche seraient négatifs.

Mais comme on a.X>> rs^la condition n*est pas remplie non plus, lorsqu'on prend le signe positif.

Par conséquent, les deux droites ne peuvent pas rencontrer les courbes ; donc les deux équations jprqposâeis Ji'imt «Qoe des racines imaginaires.