Exemple Y. Soient données les deux hyperboles
8aj/ — 42]/-^9=0; déterminer leurs points d^intersection
La valeur de y, tirée de la seconde éqraKon et substituée dans la première, conduit à Téquation du second degré en «,
équation qui a deux racines réelles a; = 5 et^=: 3 }.
Les valeurs correspondantes de y sont y = | et y = f .
ilalsles deux courbes proposées sont des hyperboles, rapportées à une'a&jQ^ptote commune prise pour axe des abscisses; donc, en outre des deux points d!intersection que nous venons de trouver, elles ont encore deux autres points de rencontre éloignés à Tinfîni de l'origine.
En effet, lorsqu'on remplace x par -r, et qu'on égale les va-
leurs de y tir ées de la première et de la seconde des équations proposées, on obtient l'équation du quatrième degré.
Les quatre racines de cette équation sont :
raf:=Qi^ idmc r=0,
s = { et z = i^,
et comme x^=-^ nous aurons les quatre solutions des équations
proposées :
a=Q, ar=QD^ V=^
T=:i, x=5, y=!fi,
529. Cas particuliers. La résolution de deux équations du second degré, à deux inconnues , se réduit , dans certains cas particuliers, à la résolution il'une équation bicarrée ou d'une équation du second degré.
l^liorsqueles deux courbes soilt concentriques ^ et rapportées à leur t»ntre commun pris pour origine , leurs équations ne contiennent plus de termes du premier degré par rajpport aux variables; et l'élimination dhme variable donnera une équation bicanfe*par rapport *à l'autre variable.
Exemple. 16i/* — 1 6xy + 5a?' — 400 = 0 {ellipse]^
y» ^t -|- 1 6 = 0 {hyperbole) .
Les solutions Jiûnt ^ales deux Ji xdeu^, .mais de signes eontraires.
^liOTsque^es deux ' courbes "soilt ^homofocéks^ et rapportées à
leur foyer commun, pris pour origine des coordonnées^ les deux équations se mettent sous la forme
donc ay+bx + c=:±{a'y'\'b'X'\'C')^
ou (a±a')y+(6±6')a? + (c±c')=0;
et Ton aura deux équations du premier degré, que Ton combinera avec Tune des équations proposées.
Exemple. 3y' — kxy + 4y — 2a? -J- ^ = û {hyperbole)^
y*— 2a;y + ^*— 3y"-3^"-î = 0 (parabok).
3* Lorsque les deux courbes ont un diamètre commun , et qu'elles sont rapportées à un système de coordonnées obliques, ayant pour axe des abscisses le diamètre commun , et pour axe des ordonnées une parallèle aux cordes , les deux équations ne contiennent la variable y qu*à la seconde puissance, et rélimination de cette variable réduira le problème à la résolution d*une équation du second degré en x.
Exemple. 2y' — 3a? — 36 = 0 {parabole),
y* + 5a?*— 80 = 0 (ellipse).
4" Si les deux courbes sont semblables et sembktblement siiuées^ les termes du second degré dans les deux équations ont les coefficients proportionnels.
Donc, si l'on multiplie l'une des deux équations par un facteur convenable, et qu'on la retranche de Tautre équation, on obtiendra pour reste une équation du premier degré.
Exemple. y'+ 2a?y— 3a?* + to+ 40=0 (^p«r6ofc), 2y« + 2a?y — 6a?* — 5y + 37 = 0 (hyperbole).
5"" Lorsque les deux courbes sont des hyperboles ayant une mime asymptote ^ et rapportées à cette asymptote commune comme axe de Xf les deux équations ne contiennent la variable a:
que dans le terme xy; et l'élimination de x donne une équation du second degré en y.
Exemple. y'— 4rrî/+ 6y— 10 = 0,
S IL Résolution des équations du quatrième degré.
5S0. MÉTHODE DE RÉSOLUTION. La méthodo, que nous venons d*exposer, sert à réduire la résolution de l'équation du quatrième degré,
rp* + ao;* -|- te' + cj? + d = 0 ,
à la résolution d'une équation du troisièmB degré.
En effet» si dans l'équation proposée on remplace x^ par y, on arrive à l'équation :
y' + aa?y4-6y4-c^ + rf = 0;
et la résolution de l'équation du quatrième degré est ramenée à la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues, que nous pouvons résoudre au moyen d'une' équation du troisième degré en >.
33L Exemple. Soit donné l'équation,
équation qui n'a pas de racines commensurables.
En posant a?=y (paraboh),
l'équation proposée deviendra :
y*— 2ipy— 8y-f-12a?— 4=0 (hyperboh).
La résolution de ces deux équations est ramenée à celle de Téquation du troisième degré,
qui a trois racipes réelles,
X = — 8 et X = — 4±2v^.
360 JWffElfOIlSB..
Iftqp&BtUé; fcs=:4b(L— XX
est positive pour chacune de ces trois valeurs de X ; donc, les deux équations proposées admeilenl tri)ifr. couples da steantes communes et quatre solutions réelles.
Les équations des sécantes^ qui correspondent à la deuxième et à la troisième racine de Téquation en X, sont ;
et
x=— 4— sv'e,
En cherchant les points d*intersection de ces deux s][âAàme& de droites, on obtient immédiatement les racines de l'équation du quatrième degré;
x = ^±yfï et x = —\±^.
RÉSUMÉ
521 . Condition poar quNine équation du second degré à deux variables se réduise à deux équations du premier degré. — 322. Réduction de deux équations du second degré, à deux inconnues, à une équation du troisième degré. — 323. Indication de divers cas. — 324. 32a, 326, 327, 328. Exemples. ^ 329. Cas particuliers. — 330. R6solation d'une équation du quatrième degré. — 331. Eizemple.
