CHAPITRE V

QUELQUE» EXEMPLES D'ARTIFICES AUGËOfRIQUES.

352. But db ce chapitrs. Dans nn grand nT)mbre de cas , si Ton suivait, sans modiflcationy les règles générales du calcul, on serait conduit à des opérations compliquées, qui dépasseraient quelquefois la patience du calculateur. L*habilcté du géomètre consiste à trouver, dans la forme particulière des questions qu'il traite, l'occasion de simplifier les opérations, et de parvenir plus immédiatement aux conclusions qu'il a en vue.. De pareilles modifications exigent une grande habitude de l'analyse et,, souvent même, un véritable génie d'invention ; et l'on comprend qu'il ne nous est pas possible de donner des règles générales sur les artifices de ce genre. Nous nous bornerons à ahoiair, parmi les calculs algébriques les plus célèbres, quelques exemples, dans lesquels d'illustres géomètres ont poussé à un haut degré la dextérité analytique dont nous parlons.

535. Problème I. On donne un polynôme du second degré^ à Vms variables,

[l] kx^+kY+k"z^+2Byz + 2Vxz + 2W'xy + 2Ca;+2C'2/ + 2C"^+D;

et Fon demande de remplacer x, y, z, par trois variables nouvelles, liées aux premières par les relations,

y = pu + pi;+rtû,.

et s' imposant les conditions suivantes : V* Le polynôme prendra la forme [3] Gu> + G'v' + G"w^ + Hii + H'v + Wxo + K ;

2*Lcî nmf cœfficienUoLf «', a^, p, p', p", y, y', y^, seront lUspar les rekuUmSf

l«*+p* + y*=i, i««'+pp'+n'=o.

[4] {«'*+?'•+/*= U {«ot«' + pp'' + T/=0.

Ce problème se présente en géométrie analytique, lorsque l'on veut simplifier une équation du second degré, en changeant les directions des axes des coordonnées, sans qu'ils cessent d'ëire rectangulaires.

En multipliant respectivement les équations [2] par a, p, y» et en les ajoutant ensuite membre & membre^ on a, d'après les équations [4].

u=oa? + py + yz;

et Ton trouvera, d'une manière analogue:

tj=«'a?+p'y+Y'^,

Par conséquent, pour que les polynômes [Ij et [3] soient équivalents, on doit avoir, en identifiant les termes du second degré :

G(«a^ + Py+P2)* + G'(a'a?+p'y + Y'z)« + G'(«^a: + p^y + /y)» = Aa^+ ky + A"-5» + 2Byz + 2Wxz + 2Vxy ;

ce qui donne les six équations suivantes :

( Got» + GV* + GV> = A ( Gotp + G Vp' + GVp-'=B', [5] JGp* + G'p'«+ eT=A, jGotT+GVY'+GV/=B', I Gf + GY + G'Y" = A'; 1 GPy +G'PY + GTr'=B.

Multiplions respectivement la première, la quatrième et la cinquième équation du groupe [5] par a, p, Yi et ajoutons-les ensuite; il viendra :

[A] Ga=A« + B"p + B'Y.

Si Ton multiplie la secondey la quatrième et la sixième équation du même groupe par p, «, y, on aura de même :

[A] GP=A'P+B*'oc+By;

et Ton trouvera de même :

[A] Gy=:A'^Y+B'« + BP. V

Ces trois équations ont lieu entre a, p^y; elles sont du pre^ mier degré; donc on ne pourra en lirer qu'une seule valeur de chaque inconnue^ à moins que le dénominateur commun ne soit nul. Or, on satisfait à ces équations, en posant:

Cette solution n'étant pas admissible à cause des relations [4], il faut que le dénominateur soit nul ; et Ton doit avoir , par conséquent :