DIVISION ALGÉBRIQUE

8S. Lorsqu'on a à diviser une expression algébrique A par une autre B, on indique le quotient, en plaçant le dividende an-dessus du diviseur, et en les séparant par une barre horizon-

taie. On écrit g, et, le plus souvent, il est impossible de trans-

ibrmer la formule en une autre plus simpie. Mais lorsque A et B renferment des lettres communes, il ar-

2 y LIVRE I.

rive quelquefois que Ton peut simplifier le quotient; et c'est ce qu'on appelle alors effectuer la division. Nous allons étudier ropération à ce point de vue pour les monômes et les . polynômes ; nous donnerons la règle à suivre dans chaque cas, et nous étudierons en même temps les conditions, sans lesquelles le calcul n*est pas possible.

tt5. La division algébrique présente trois cas : 1* division d'un monôme par un monôme ; 2" division d'un polynôme par un monôme ; S"* divisioii d*un polynôme par un polynôme.

$ I. Dmsion des monômes.

M. Règle de division. Soit à diviser 75 à'b^G^df par 25 afbc^; et supposons qu'il eiiste un monôme entier qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. Diaprés la règle de nuiltiplication (28), le coefficient 75 du dividende doit être le produit du coefficient 25 du diviseur par celui du quotient : ee dernier s'obtiendra donc en divisant 75 par 25; il sera 3. D'après la ménie règle, l'exposant 7 de la lettre a dans le dividende doit être la somme de l'exposant 3 de la môme lettre dans le diviseur, et de celui de cette lettre dans le quotient; on obtiendra donc ce dernier en retranchant 3 de 7 ; il sera 4. De même l'exposant de b sera 3. Gomme c entre avec le même exposant 2 au dividende et au diviseur, cette lettre n'entrera pas au quotient ; et comme d entre au dividende sans entrer au diviseur, elle devra se trouver au quotient avec son exposant 5. Le quotient est donc 3a^&'(f . La méthode est générale ; elle conduit à la règle suivante : Pour diviser un monôme entier par un autre: 1® on divise le coefficient du dividende par celui du diviseur; 2'» on écrit^ une fois chacune^ les lettres qui entrent au dividende amc un exposant plus grand qu'au diviseur ; 3« on affecte chacune de ces lettres Sun exposant égal à la différence de ceux qu^elle possède dans Us deux momO' mes. Si une lettre tC entre qu'au dividende^ elle entre au quotient aou son exposant.

tttt» Conditions de possibiuté» Nous avons supposé* pour faire le raisonnement, que le quotient existait sous forme d'un monôme entier. Or il est évident que cette hypothèse sera vérifiée, •toutes les fois que le coefficient du dividende sera divisible par celui

DU CALCUL ALGËBRIQUE* 39

du diviseur; qu'en outre ^îeskttreê du divisAur entreront toutes dans k ^vidende; et qu*eniin rexposùnt de chacune dettes ou diviseur wre au plus égal à celui dont eUe est affscUe au dividende. Car si ces conditions sont remplies, on pourra, en appliqnant la règU (34}, troaver un monôme entier, qui multiplié par le diviseur, reproduira le dividende : ce sera^onc le quotient effectuée

Hais si une ou plusieurs de ces trois conditions ne sont pas réalisées, il sera impossible d^obtenir le quotient sons forme d'un DHnwiDe entier. Car, si le quotient exis^t sons cette ferme, le zaisottuement el la règle seraient applicables, et les trois eond^ lims deTraienl être remplies^.

Ce sont donc là les conditions nécessaires et suffisantes, pour que la divisioo des monômes entiers soil possible.

56. Exposant zéro. D*aprës la règle que nous venons de donner, si une lettre a entre au dividende avec Teiposant m et au di- Tisear avec rexposant n, elle entre au quotient avec Fexposant m— n» Hais la démonstraiion suppose qoe Ton a fn>n. Si Ton a m=:ii, la bstfre a disparaît du quotient, et la règle ne s'apprique plus» SîtonteCois Ton convenait de rappliquer encore, on anraif a*~* on tf ; et comme le quotient de a** par of* est évidcramenf TuDité, on conserverait à la règle des exposants sa généralité, en laîsant la amvenâtm que a!^ représente f unité, quel que soit a. DV près cela,

et ce quotient n*es( pas altéré par ta convention, puisque le hcteor c*=l. On conserve d'ailleurs ainsi, dans le quotient» la trace d'une lettre qui, sans cela, disparaîtrait»

Nous donnerons plus loin de plus grands détaile suc cette cour vention , qui se lie à la généralisation des exposants.

S n. nivisias d'«n polynôme par na mêouae^

57. BÂ6U SA nivisioir. Le quotient de la divifiioa d'on pd j^ nome par un monôme n'est jamais un monôme; car le proéuît de deux monômes est toujours un monôme (2ft). Ainsi, locsque ce quotient existe sous forme entière, il ne peut être qu'un p<â jnome. L'opération consiste donc, dans ce cas> à trouver un p<H Ijuomequi, multiplié par le monôme diviseur, reproduise le po»

lynome dividende. Or on a vu (30), que le produit d'un polynôme par un monôme est la somme des produits de chaque terme du multiplicande par le multiplicateur. Donc le quotient cherché s^oh^ tiendra en divisant chaque terme du dividende par le diviseur : on donnera d'ailleurs à chaque quotient partiel le signe du terme du dv^ vidende qui Fa fourmi. Par exemple,

(36a*a;»— 24aV+2feaV) : 4a»a?»=9aaj»— 6a?»+ IaK

S8. Conditions de possibbité. Si chaque terme du dividende^ pris isolément, est divisible par le diviseur^ il est évident que le quotient est un polynôme entier, qu'on peut obtenir par l'application de la règle précédente ; et la démonstration de cette règle prouve, d'ailleurs, que cette condition est nécessaire.

S UI. Division des polynômes.

ISO. Il est bien rare que Ton puisse effectuer la division d'un polynôme par un autre, c'est-à-dire trouver un troisième polynome qui^ multiplié par le second ^ reproduise le premier. Cependant lorsque le dividende et le diviseur admettent une lettre commune, il arrive quelquefois que Ton peut mettre le quotient sous cette forme. Nous supposerons ici, que les deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre, et nous chercherons, s'U est p<^sible, à représenter le quotient par un polynôme ordonné de la même manière.

Le procédé de division repose sur les théorèmes suivants :

60. Théorème I. Si deu/x polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes d^une mimé lettre^ et que le quotient de leur division soit égal à un polynôme ordonné de la mime manière^ le premier terme de ce quotient est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

En effet, le quotient, multiplié par le diviseur, doit reproduire le dividende. Or, le premier terme du produit de deux polynômes ordonnés provient, sans réduction (48), du produit des premiers termes de chacun d'eux. Le premier terme du dividende est donc le produit du premier terme du quotient par le premier terme du diviseur; et le premier terme du quotient résulte, par conséquent , de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

DU CALCUL ALGEBRIQUE « k\

Oopeut remarquer (41), que le premier terme du quotient sera positif ou négatif, suivant que le premier terme du divideade et le premier terme du diviseur auront ou n'auront pas le même signe.

61. Théorème n. Si ton multiplie k diviseur par le premier terme du quotient , et si ton retranche le produit du dividende^ on obtiendra un reste qui^ divisé par le diviseur ^ donnera pour résultat ^ensemble des aiUres termes du quotient.

Le dividende est égal, en effet, au produit du diviseur par le quotient. Si donc on en retranche le produit du diviseur par un des termes du quotient, le reste sera le produit du diviseur par la somme des autres termes du quotient : cette somme sera, par suite, le quotient de la division du reste par le diviseur.

62. Règle de division. Les deux théorèmes précédents permettent de faire une division quelconque : car le premier donne le moyen de trouver le premier terme du quotient, et le second ramène la recherche de tous les autres à une division nouvelle. Le premier théorème, appliqué à cette division nouvelle, permet de trouver le premier terme du nouveau quotient, c'est-à-dire le second terme du quotient cherché; et le second théorème ramène la recherche des suivants à une troisième division, et ainsi de suite.

De là résulte cette règle :

Pqut diviser un polynôme par un autre : après les avoir ordonnés suivant les puissances décroissantes d^une mime lettre^ on divise le premier terme du dividetide par le premier terme du diviseur; ce qui donne le premier terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce gwtient, et Von retranche le produit du dividende: cette soustraction te fait en changeant le signe de chaque terme à soustraire, et en réduisant les termes semblables. On divise le premier terme du reste far le premier terme du diviseur; ce qui donne le second terme du quotient. On multiplie le diviseur par oe second terme ^ et VonretrancAe le produit du reste. On obtient ainsi un second reste j dont on divise le premier terme par le premier terme du diviseur : ce qui donne le troisième terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce troisième terme f et ton retranche ce produit du second reste. On continue ainsi, jwquHi ce que Von trouve zéro pour reste.

Le polynôme, dont on a obtenu ainsi les termes un à un, est

42 UVBE U *

le quotient cherché ; car, en opérant d*après cette règle, OD a re* tranché snecessiTement dn diTidende ks produits du difisear par les différents termes de ce polynôme ; puisqu'il ne reste rien» il faut que le dividende soit le produit du diviseur par ce polynôme, c'est-à-dire que ce polynôme soit le quotient.

•a. ExbhplbL Soit à diTÎser s^ +&b*+4z*-*4«*+s*~1 par d^+s — t : on écrira, comme il suit, lardiviaeur à la droite du divideade, eu les sôptraat par une barre yerlicale.

Dividende... a* + Gï*4-4ap' — 4*'+*— 1

«' + X — 1 diTiseur.

x^-^bx^+l q|^otiezlt.

!•' reste 5a*+5x'— 4a5*+a— 1

2* reste a'+a;— 1

— aP— 05 + 1

Le premier terme du quotient est x*j quotient de ladivision de s* par 2*. Le produit du diviseur par af* est a^ +af*— «*; on écrit sous le dividende ce produit changé de signe; ce qui réduit la soustraction à faire une simple réduction de termes semblables : et L'on obtient ainsi un premier re8l8&r^+9#— <te*+« — U

Le second terme du quotient est 5âB% quotient de la. division de 5s* pat ac^. On multiplie le diviseur par 5a^, ce qui donne 5x^+5«*— 5x'; puis on écrit ce produit sous le premier reste en changeant son signe, et Ton opère la réduction. On obtient pour second reste s*+ s — 1.

Le troisième terme du quotient est 1 , quotient de x> par s*. Si Toa muUipIfes le diviseur par 1, et qu'on retranche le produit du secûid reste, eaobtient pour reste 0. Le ({Liotient cherché est donc

aî» + 5«»+l.

On doit s'habituer à eflectuar à la fois la muUiplicatUA de diaque tetoie du

diviseur par le terme trouvé au quotient, la sousiraction du terme correspoadant du dividende, et la réduction dea termes semblables. Le tableau du calcul se réduit alors, comme on le voit ici :

Dividende... «» + 6«*+4»' — ios'+af— 1 [op' + g— i diviseur.

l** reste &r< + 5»»— 4«»+»— 1 | «•+5x"+l quotient

!!• reste. ..... »»-|tap— i

ExuQUi n. Lm oocfflcientfl de la lettre ocdoofialrioa um\ desmonBiet lillé* lauz.

Seit à diviser le polynôme par le polynôme

nous nooB Gonteatero&s de faire le tableau du calcul.

!« reste — •••ft—

VRSt»

•4.EXEMPLBIII. La. règle précédente ne suppose nullement que les puissances de la lettre ordonnatrice aient des coefficients nnmërique» on monômes. Ces coefficients pefrvent 6tre des polynômes (49), sans qu'il y ait rien à changer au laifionsementa et à la manière de procéder. Seulement, quand Les coeffiaients du premier tanne du dividende et du premier terme du diviseur sentdes polynômes, il 7 a des dÎTisions partielles à opérer, chaque fois que Ton veut obtenir un aouveau terme da quotient. Yoici un exemple :

0" ix'+la*

-6* 1 — Sob»

a«-Stt«