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•f-lti^b*

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-HSo^b* — 2ob»

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♦- 2a*b* -h3»V — aob»

•»-!la*b

— aV

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X— Sa'b* -i-2a*b* +3o«b« — 2a6'

i** division partielle.

^-*rt-i.3a6^— b* I g*— 2ab-4.b' — «'b-Kitab'— ** l <»— 6

pnrfMI^

o*— S»*b-<-2o*b* — ft*b-4- a*6«

— a«b»-ir2ab*-b*

S* âiittêion partielle.

flb»-b* I ••—

— aiè-*-b'

ob-l)'

— a.M>2«*-«V-4-«"*^— aoM-t-b» L^-4a^b*

•Mi>b'— 3ab«-ft^

On divise d'abord , dans ce cas, (,a* — ^^b + *6aV —V\y, coefficient du premier terme du dividende, par (a' — làb 4- b^ , coefficient du premier terme du diviseur (première division partielle) ; ce qui donne (a — b). Et comme x*, divisé par a^, donne s*, le preoûer terme du ^otient est (a~d)x>. On muHipliele diviseur par ce terme, ce qui oblige à effectuer pluaieins mdltiplicatioQs de pcIjaoBies; puis on retranche ce produit d« dividende, et on a un premier

reste Pour continuer Topéralion, on doit diviser (a*--3a*b + 2aV + o6' — 6*), coefficient du premier terme du reste, par (a' — 2ah + b'), (deuxième division partielle) : ce qui donne (a'—ab— &*). Le second terme du quotient est donc (a'-T-ab-— b^)s. La multiplication du diviseur par ce terme, et la soustraction, amènent un nouveau reste-, sur lequel on opère comme sur le précédent; et Ton arrive ainsi au quotient cherché.

6iS. Conditions de possibilité. — Les raisonnements , qui nous ont conduit au procédé de division, supposent essentiellement que le quotient puisse s'exprimer par un polynôme. Or, lorsqu'on a à diviser un polynôme par un autre, on ignore le plus souvent si cette condition est remplie. Il est donc important de déterminer les caractères auxquels on reconnaîtra qu'une division est possible sous cette forme. Ces caractères se rencontrent dans le procédé même que l'on emploie.

En effet» si une division est possible,

1"* Le premier terme du dividende doit être divisiblepar le premier termt du diviseur, et le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur (48).

2^* Le premier terme de chaque reste doit être divisible par le premier terme du diviseur : car il est le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient.

3" Après un certain nombre de divisions partielles successives, on doit trouver au quotient un terme quiy multiplié par le diviseur, reproduit le dividende partiel qui Va fourni : car on doit obtenir le reste zéro.

Ces conditions sont nécessaires: et si l'une d'elles n'est pas remplie, il n'existe pas de quotient sous la forme d'un polynôme : la division ne peut s'effectuer.

Ces conditions sont suffisantes ; car si elles sont remplies, le procédé employé fournit évidemment un polynôme, qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende.

G6. Caractères auxquels on reconnaît si une division peut ou NE PEUT pas s'effectuer. — Lorsquc les polynômes sont ordonnés, comme nous l'avons supposé (89), suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, l'exposant de cette lettre dans le premier terme de chaque reste va toujours en diminuant, puisque la réduction des termes semblables fait disparaître au moins le premier terjne de chaque dividende partiel. Par conséquent, si Ton continue d'appliquer le procédé de division, on

arrivera nécessairement à un reste, dont le premier teime contiendra la lettre ordonnatrice avec un exposant plus faible que celui dont elle tsi affectée dans le premier terme du diviseur. Ou ce reste sera nul, et la division sera effectuée ; ou il ne sera pas nul » et la division sera impossible.

Remarquons, d'ailleurs, que l'on pourra être averti de rimpossibilité de la division, avant d'arriver au reste dont nous parlons. Car il pourra se faire que le premier terme d*un reste antérieur ne soit pas divisible par le premier terme du diviseur.

Exemple IV. Diviser jp* + 5«^» + 2x* par «'+ x.

Dividende. «*4-5«* + 2Jt* |îL+£ diviseur.

+ 4aJ* + 2x» I x3 ^ 4jc» — 2« + 2 quotient. — 2jf»

— 2jp

La«aite des calculs amène le reste ^-2x, qui n'est pas divisible par x' : donc la division est impossible.

Quand une division ne peut pas s'effectuer, il existe un autre caraclëre auquel on peut reconnaître \ quel moment on doit s'arrêter. En effet, si la division est possible, le dernier terme du dividende doit être le produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient (45). Il résulte de là, qu*on peut déterminer immédiatement le dernier terme du quotient, en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Donc, lorsqu'en formant les termes successifs du quotient^ on en trouvera un de degré moindre que le terme ainsi calcuit, on pourra affirmer que Vopèration ne se termine pas^ et qu'aucun polynôme ne peut représenter le quotient. Il en sera de mirnej si Von arrive à un terme de mime degré que le terme ainsi calculé, et qui ne lui soit pas identique.

Dans Fexemple IV , si le quotient existait^ le dernier terme aevrait être 2x*, quotient de 2a^ par x. Or le premier terme kx* du premier reste, divisé par x*j donne pour quotient 4^. Sans aller plus loin, on peut affirmer que la division ne se terminera pas.

67. Division des polynômes ordonnés suivant les puissances CROISSANTES D*UNE LETTRE. li arrive, dans certains cas, que Ton ordonne les termes d'un polynôme suivant les puissances crois-

46 UVftE I. ^

santés d^ne lettre. On peut faire la dîiiskm de denx polynômes lordoBoés de cette manière, et trouver les divers termes du ^laotîent, en commençant par oeux dans lesquels la lelitre principale a le moindre exposant La théorie est absolunent la même que dans le mode ordinaire d'opérer; seulement, dans le cas où la division exacte n'est pas possible, il peut arriver qu'elle se poursuive indéfiniment; «et t'oa obtient alors des restes, dont le degré augmente de plus en plus, aà lieu de diminuer, oomnne cela avait lieu dans le cas des polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes.

Pour donner un exemple de oette manière d'opérer^ reprenom la division effectuée au paragraphe (63), en ordonnant les deux polynômes suivant les puissances croisfiantes de x.

Exemple V. Divid* — 1 + « — 4^' + 4a?' -f €** + a?* 1 — 1 + a; + g» div^

, — 5a»+4«»+6ac«+a;* I 4-l+5«* + «' quoi» — «»+ «♦ + «»

I^ous dirons : le dindende étant le produit du diviseur parle quotient, I9 terme, dont le degré en s y est le moins élevé, provient sans réduction du produit des deux termes analogues dans le diviseur et dans le quotient (4S); et, par conséqueirt; ^ "premier terme flu quotient est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : fl est -f- 1.

On démontrera, absolument oomoie on Ta fait (61), ^u'ien retranchant du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, on obtient un reste — &«' + 4«* + 6x< + »* qui, divisé par le diviseur, fournira les termes qui doivent compléter le quotient.

Le premier de ces termes est égal, pour les raisons données plus haut, au quotient de la division de — bx* par — 1 , c'est^à dire ^*il est -H- Sx*.

£n multipliant + bx^ par le diviseur, en retranchant le résultat du premier reste, on obtient un second reste — x^-{-x*+a^, qui, divisé par le diviseur, fournira les termes qui doivent compléter le quotient.

Le premier de ces termes est égal, pour les raisons «données plus haut, au quotient de la division de — a^par — 1, c'est-à-dire qu'il est -fac»; en le multipliant par le diviseur, et retranchant le produit du reste précédent^ on trouve une différence nulle ; et l'opération est par conséquent terminée.

68. Gâractèae auquel on reoonmait qu*une ditision ainsi ORDONNÉE EST IMPOSSIBLE. Dans l'cxempic précédent, l'opération se termine, et le résultat est identique, comme cela devait être, avec celui qu'a fourni la première manière d'opérer. Mais il B*€ii serait pas de même, si ooiis prenions une -division impossiibJe à effectuer exactement. Soit, par exemple, à diviser (l-fj?+a;»+a«») par (l+Sa).

AnmsVL Oradaidfl l+«+ c' + S*'

t +2s diviaear.

— .«+ •'-fS:^' l—ir+3«'—4x'+... quotient.

la appliquant le procédé ordinaire à cet exemple, on obtient des restes successif^ dans lesquels l'exposant de la lettre x, au premier terme, va toujours en augmentant; d'ailleurs la division du premier terme de chaque reste par le premier terme du dlTiseur est toujours possible. Donc le premier caractère d*impossibilité (M) ne 9e manifestera pas.

Hais il en existe mi autre, analogue au second, qui se présente toujours, dans te cas ob la division ne peut pas s'effectuer. En eSet, si la divîsionest possible, le dernier terme du dividende est le produit du dernier terme du guotient par le dernier terme du diviseur ; par suite, le dernier terme du quotient s'obtiendra immédiatement, en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Or le degré des termes du quotient, par rapport à la lettre ordonnatrice, va en augmentant, ^nc, krsqvfon arrivera^ en appîiquarU le procédé^ à placer au guotient un terme de même degré que le terme ainsi calculé et qui ne lui serait pas identique^ ou bien un terme de degré supérieur ^ on fourra infirmer que la division est impossible.

Bans l'excmfMe VI, «i le tiuotient existait , son dernier terme serait s', quo> tient de "Sir" pir Sx ; «donc, lorsqu'on est amené à mettre au qootlent le terme 3^', (tt 4loit s'arrêter; Ja dïTisMn ne saurait s^affectuer.

En résumé, on voit que, dans tous les cas, le procédé même de la division conduit nécessairement à des caractères certains de pos^bilité ou d'impossibilité.

S IV. Des divisions gui ne peuvent se faire exactement.

69. DÉFiKinolîs. On dit qu'un polynôme est entier par rapport à uneletire^;, lorsqu'il ne contient la lettre x ni en dénominateur^ ni sous le signe ^* Ainsi l'expression

est un polynôme entier en x.

Si un polynôme est entier par rapport à une lettre x, le degré de ce polynôme, par rapport à celte lettre, est l'exposant le plus élevé dont elle est affectée. Le polynôme précédent est du 3* degré en X.

On dit qu'un polynôme, entier en x, est divisiblepar un autre polynôme entier en a;, quand le quotient peut s'exprimer par un polynôme de même forme. Les coefficients peuvent être quelconques. Ainsi 00^ — 3 est divisible par aîv^-j-v^; le quotient

est x^a — v/3.

Lorsque les deux polynômes n'ont pas pour quotient un troisième polynôme, on dit qu'ils ne sont pas divisibles l'un par l'autre. On peut néanmoins, dans ce cas, donner, en générai, à l'expression de leur quotient, une forme plus simple que celle qui résulterait de la seule indication de l'opération. Nous allons

démontrer, en effet, les théorèmes suivants.

70. Théorème L Si deux polynômes A e( B sont entiers en x (A étant d'un degré au moins égal à celui deB), on peu( toujours mettre

le quotient j: sous la form^ d^un polynôme Q, entier en x, augmenté

d'une fraction ^ ayant pour dénominateur le diviseur B, et pour

numérateur un polynôme R entier en x, de degré moindre que B.

On peut, en effet, ordonner les polynômes A et B suivant les puissances décroissantes de x, et leur appliquer le procédé de division (G2) ; comme les coefficients du quotient ne sont pas astreints à être entiers, on peut continuer l'opération, jusqu'à ce que Ton trouve un reste de degré moindre que B. On obtiendra ainsi au quotient différents termes^ dont aucun ne contiendra x en dénominateur. Car les dividendes partiels qui les fournissent sont tous d*un degré supérieur ou au moins égal à celui de B ; et leur premier terme contient, par suite, a? à un degré supérieur ou au moins égal à celui du premier terme de B.

Soit Q l'ensemble des termes obtenus, lorsque l'on parvient à un dividende partiel R, de degré moindre que B: R est ce qui reste du dividende A, lorsqu'on en retranche successivement les produits de B par les divers termes de Q; il est donc égal à A— BQ ; et Ton a, par suite,

A=BQ+R:

foùy en divisant par B les deux membres de la formule,

le quotient g est donc mis sous la forme annoncée.

71. Théorème II. La transformation précédente ne peut se faire que iwit seule manière.

Supposons, en effet, qu'en divisant A par B, on puisse obtenir d*une part Q pour quotient et R pour reste, et de l'autre Q' pour quotient et R' pour reste, Q et Q' étant entiers en x, et R et R' étant de degrés moindres que B, on aurait, par ce qui précède,

A=BQ+R, A:=BQ'+R';

et Ton en conclurait,

BQ+R=BQ'+R',

formule que Ton pourrait écrire

Or R et R' étant de degrés moindres queB, il en est de même de leur différence; tandis que le degré deB (Q— Q'), par rapport à X, est au moins égal à celui de B. Donc le second membre est d'un degré moindre que le premier; et l'égalité est impossible.