CD

Les substitutions fournissent donc six changements de signe ; mais entre X — • et X -|- «, |a — i et f* + «, v — s et v -|- e, la fonction passe par l'infini et est discontinue ; on doit donc conclure l'existence de trois racines seulement, l'une comprise entre X + i et j*— •, l'autre entre fi + 1 et v — e, et la troisième entre v + e et <» ; c'est-à-dire que les racines sont comprises respectivement entre X et (x, [a et v, y et oo. On voit qu'elles sont inégales, toutes les fois que les nombi^s X, (a, v, sont djflérents.

Après avoir résolu l'équation [6] et trouvé lestalecvrs d« G, G', G*, les équations [A]LB][G], qui sont du premier degré, donnent les rapports des quantités a, p, y, a' p' y', *', p*, y*.

Nous laissons au lecteur le soin de discuter les divers cas par-

ticuliers que peut présenter cette solution^ et notamment celui où les quantités X, (x, v deviennent égales.

SS4. Problème IL On propose de résoudre les trois équations :

roi ^ I V' I ^' -1

t^l ri+7iZT>+?3?""^'

Ces équations se présentent lorsqu'on cherche Tintersection de trois surfaces du second ordre» dont les sections principales ont les mêmes foyers.

Si» dans Téquation [1], on chasse les dénominateurs, on obtient :

si Ton chasse de même les dénominateurs des équations [2] et [3], on trouve:

— 6Vir* = 0;

et ces trois équations prouvent que (a^, v^, p^, sont les trois ra* cines de Téquation :

[4] X"— X» (6*+c»+û?»+y«+z*)+X(6 V+ft V+cV-Ky«+ W> On en conclut :

et celte équation fera connaître a?.

Pour obtenir y^ et z^^ remarquons qu'en posant : les équations proposées deviennent :

et ne diffèrent des proposées que par le changement de x^ et y^ en y* et a?', et par celui de p, jx, v, en p', j*', v', de 6' en — 6% et de ^ en c* — 6'.

On peut donc écrire :

fc«(c«-. 6«)y« = (^>— ô>) (v« — 6*) (6* — p*). . On trouvera par un artifice tout semblable :

c«(c«6«)z» = (fx*— c») (c*— V*) (c* — p«);

et ces deux équations feront connaître x^ et y^.

On pourrait arriver à des valeurs de x^^ t/^, z', par la résolu* tion directe des équations proposées, qui sont du premier degré; mais les calculs seraient beaucoup plus longs.

Nous remarquerons enfin que p*, f^*, v% étant les racines de réquation [4], on a :

et, par suite :

formule utile dans plusieurs recherchesi et dont la vérification directe exigerait quelques calculs.

358 APWtNOICB.

S38. PROBiiaiB IQ. Disignims par "^f y'^ v*,..* les fonctions linéaires suivantes des indéterminées i, y, z,...

V =aa? -\-hy +^z -!-••• + h

(Le nombre des fonctions v, v\ v',... est supérieur aa nombre des indéterminées x^ y» js^.»,)

Parmi tous les systèmes de coefficients x, x\ x\.. ftij dorment identiquement :

[k] x!? + xV+xV+...=a?— K,

X, x', x%... ^(onl tfuMjpMidanly de z».y^, ^«.. (rmver ceitajKmr

/eguei la somme

x»+x'»+xr*+.,.

e^l mimmum.

Posons :

av + ûV 4- a*«*+ . . . ae^f ,

S» ^9 Cr- seront des fonctions linéaires de^» t^ ^•••; et Ton aura:

Pî

où 2a«=o»+a'»+a*^ + ....,

et de même pour les autres 2.

Le nombre des quantités Ç, ij, Ç,— est égal au nombre n des inconnues a?, a, i?,...; on pourra donc obtenir, par élimination^ une équation de la forme suivante :

tA] ^=A+HÎ+(t«ij4-(«TX-h...,

RESOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IttPOIlTANTES. 359

danshqtxelle («or), («p}^ C«t)>-* sont des coefBcients indépendants de Xjy^z,... et de S,iit (»•-• que l'on sait trouver; et cette équation sera satisfaite identiquement, lorsqu'on remplacera ^ «u ^ pav leurs tdeurs [3]. Par conséquent, si l'on pose :

Ja'(a.) +y(ap) +(/(n) +.. . =«\ • •••••••• ••

en multipliant respectivement ces équations par v, t?', t/",... et en les ajoutant, on aura identiquement, en verta des équations

[21 et [A] :

[5] oi»+otV+«"t/^+...=»— A,.

pommr que Ton remplace t?, t/, t/",... par leurs valeurs £l].

Cette équation montre que, parmi les différents systèmes de coefficients x, x', x'^..., qui satisfont à la condition [k], on doit compter le système :

On aura d*ailleurs, pour un système quelconque, en retranchant l'identité [5] de l'identité [k] :

et cette équation étant identique, eu verta de& équatîoas [1], entraîne les suivantes :

que l'on obtient en remplaçant v, v', v'\.. par leurs valeurs [1],. et en égalant à zéro le coefficients de âr, 7, jt... Ajoutons ces équations, après lef avoir multipliées, par ^}f.(<4J» (Fl)»i^Wir aurons, en. v^rtu du système [4.1 :.

d'où en doublant cette égalité, et en la retranchant de l'identitë :

Par conséquent, Texpression aura une valeur minimum, lorsqu'on aura :

556. Expression du mNiHUM. Les valeurs de a, «', a'',... sont délinies par les équations [4]; et pour les obtenir, il suffira d'y remplacer (aa), («p), («y), par leurs valeurs, que Ton pourra déduire des équations [3] par les méthodes connues. Hais le minimum s'obtiendra de la manière suivante. L'identité [5] montre que Ton a :

aa+aV + aV-f.... =1,

rfil 6« + 6V+6V+...=0,

\Pà V«+cV+cV+...=0,

équations que l'on obtient, en remplaçant t), v\ t/',.** P&f l^urs valeurs [l], et en identifiant les coefficients de x^ de y, de x,.. dans les deux membres.

Multiplions ces équations, respectivement, par («a), («p), (ocy), et ajoutons-les, en ayant égard aux relations [4]; nous trouverons :

Ainsi (ocot) est le minimum cherché.

557. Valeurs adoptées pour a?, y, r— Si w, «', t?" étaient nuls, l'identité [5] montre que la valeur de x, qui vérifierait les équations [1], serait â;= A. Hais le nombre des équations

étant supérieur au nombre des inconnues, il est, en général, impossible de satisfaire rigoureusement à ces équations. Dans cette circonstance, les géomètres adoptent la valeur ar=A,

comme satisfaisant aussi exactement que possible aux équations. Un calcul analogue fournirait les râleurs que Ton adopterait pour y, Xj... et que nous désignerons par B, G...

On peut prouver que ces valeurs, sans annuler toutes les quantités d, v'^ v'\ ce qui est impossible, rendent la somme de leurs carrés aussi petite que possible. Mais disons d'abord pour quelle raison les coefficients de ces diverses formules ont été désignés par la notation que nous avons adoptée.

Nous avons trouvé plus haut :

On peut prouver d'une manière analogue que Ton a :

(«p)=ot|i+«'r+«T+...

En effet, p^ p% p".,., vérifient lès formules :

Si Ton multiplie les valeurs de «,«'...., [4], par p, p. • . . et qu'on ajoute les résultats, on trouvera, en ayant égard aux équations [8] qui définissent p, p\ . . :

et la démonstration sera la même pour les autres formules analogues. On voit donc que la notation, adoptée pour les coefficients, sert à rappeler la formation des expressions qui leur sont égales.