Xt+V6'+XV+...)B+-(^-h^'c'+^V+...)C
Qr cliaaine des? qoimtBésy entre parenthèses, est. nuH» f die* mène; car (Xa<-fVa'-4-XV-]— ««X P«r eiempkvesth valear que prend Ç [2], quand on y remplace v, t?', ff,... par X, V, V,^ ou, ce qui est la même chose, £, $,. s...,. par A, B, G...; et eette substitution annule (, comme on le voit d'après les équations [3] et ]A1.
Ainsi, Ton a :
et, par suite :
SutetîUiant pour (a?— A), (y — B), (z — G)..*, les yalaura fournies par l'équation [A], et les équations analogues en y» Jtu., il vieat :
O^ (««)? + (PP) V + (ty)? + . . . + a(,p)Eii + 2(aY);i: + 2(pThî+...+^' + ^'* + V'^ + ...
^^e qui, d'après les formules démontrées plus haut [7], [9]» [10], revient à
Q = (i)— X)« + (u'— X')* + ...+X» + a'«+X*»+... Par où Ton voit que
tst,.cûmme nous Tarions annoncé, le minimum de Q.
RÉSUMÉ
358. Bnt de ce chapitre — 333. Simplifier le premier membre d'un* é^oatioB da second degré, à troia yariables» en chaogeant lea dtreœ^ tiens des axes coordonués, sans qu'ils cessent d'être rectangulaires. — .334. Trouver les points d'intersection de trois surfaces du second ordre» dont les seetions principales ont les mdmes foyers. ~ 33iSy 336). 337, 338. Résolution d'un système, dans lequel le nombre des inconnues est inférieur à celui des équations^ par la condition que la somme des carrés des premiers membres de ces équations soit on minimum^ ou méthode des moindres carrés.
NOTEI
359. Formule générale qui représente l'une des incon* NUES. Considérons n équations à n inconnues :
ûi'^i + fli*a^ + ût*x, + ... + at% + ... + a.*a?. = /*,
ai*a?i-|- a,*a;i + a»"irt + ...-■[- a/'Xi i- ... + a"^.= /..
Oi, ai...a.y ai*, af^,..af...a^^ désignent des coefficients quelconques, tout à fait indépendants les uns des autres; a^* n*est, par exemple, nullement égal au carré de a^ ; et le chiiTre S n*y figure que comme un indice. En général, at^ n*a aucune liaison avec a«, et n'en est nullement la puissance k ; l'indice inférieur t indique le numéro d'ordre de l'inconnue, et Tindice supérieur h, le numéro de l'équation.
Gela posé, considérons le produit :
P=aiaaa» . . .a,(fl, — ai)(ai —ai) . . . (a<— ai) . . . (a,— aj)(aB — a^Xa^^a^. . .
(a<— aj)...(a.— a,)(a4— a8)...(a. — a8)...(a,— o^),
obtenu en faisant le produit de tous les coefficients de la première équation par leurs difl'érences deux à deux, et ayant soin de prendre, avec le signe — , dans chaque différence, le terme affecté du plus petit indice. Ce produit P se composera d'un grand nombre de termeSi dans lesquels les quantités ao ai-. .a. auront divers exposants ; chacun des termes contiendra toutes les lettres ai, ai,..a^; mais l'exposant de chacune d'elles sera au plus égal à n. Nommons R ce que devient ce produit, lorsque l'on considère les exposants comme des indices supérieurs : R contiendra alors les différents coefficients du système d*ëquation proposé; et chacun d'eux figurera, dans chaque terme, au premier degré, puisque, par hypothèse, nous avons remplacé
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IHPURTANTI les exposaDts par des indices. Si, par exemple, la puis de Oi Hgure dans le produit P, nous la remplacerons, p' tenir R, par af, coerflcient de x, dans l'éqaation de ran sorte que les deux expressions P et R s'écriront de méin représenteront des valeurs très-différentes.
Supposons maintenant que l'on rassemble, en un se les termes de R, qui contiennent a< affecté du même iD' périeur; R prendra la forme
, [2] R=A,'a/+A;ff(*+A,V + ..-+A(V+... + A,-.
Al*, Af*...A('' étant des sommes de produits, dans lesq flgure évidemment aucune des quantités a,*, d* ... a/. Or je dis qu'on a les équations suivantes :
/ 0 = A,'a. + A,'o,'+A,'<i,'...4-A,-a.-, I 0= Ai'ai + A(*(i,'-f- A('ai'.., -)- A,"at",
I 0=A,' a,-f-A('ai*+ A,'(ii*,.,-f A("a»", > 0=A/fl.+ Ai*a,'-|- ii'a,'...+A,"fl,";
ou, en d'autres termes, que l'expression R s'annule, s remplace, dans (eus les termes, l'indice inférieur t de la par une autre valeur quelconque 1, 2...k...n. En effc pression P, renfermant en facteur {oi — Oi) (ot — ai)...{c s'annule identiquement, si l'on suppose, par exemple, i le résultat de cette substitution doit être zéro, indép ment de toute valeur attribuée aux lettres a,, a,... termes doivent donc se détruire identiquement, et étri deux & deux el de signes contraires. Or, il est évident q identité ne sera pas altérée, quand on considérera les ei comme des indices, aûn de passer de l'expression Vhï sion R.
Les équations [3] étant démontrées, on obtiendra < ment la valeur de xi, en multipliant les équations pr [1] par Af*, A<*...At*, et en les ajoutant. Les coefScienl Xt...xt-t, X(^.t...x„ deviendront, en efTel, égaux à z vertu des équations [3J ; et le coefficient de x, deviendn R, en vertu de [2].
396 APPENmCE.
On aura donc :
<l'où W x,=
Ainsi I quand on a formé le dénominateur R, on forme le numéra^ teur (^une inconnue quelconque Ji, en remplaçant, dans chaque terme de R, les coefficients a/» a^...ar de X( par les termes tout connus correspondants Ii, If...!».
On obtiendra, par ce procédé, la valeur de chacune des in* connues. On voit que toutes ces valeurs ont le même déaominateur R. Si R n'est pas nul, chaque inconnue a une valeur unique et détenoinée ; et le système des équations ne présente aucune particularité. Uétude de l'expression R -conduit à une théorie importante d'analyse algébrique, que nous ne pouvons indiquer ici.
340. Nous donnerons cependant quelques développements sur la forme du dénominateur R. Nous établirons d'abord la proposition suivante :
Th]£orème. Le produit P, et, par suite j F expression h, change de signe, sans changer de valeur^ si deux indices c «^ c' y sont changés Fun dans Vautre.
Remarquons, en effet, que, dans le produit P, les seuls facteurs, sur lesquels ce changement exerce tme influence, sont ceux dans lesquels figure a* ou a» , c'est-à-dire, en supposant e<(f:
(eu— Ot) (a.— ài)*^ (a^— ai^t)(a«fi— «•)...(a, — <)...(«*•— oj
Si l'on change c en (f^ eicf en c (sans changer, hien entendu, c — 1, c + lf c'— !><?' + 1> qui sont des indices différents de ^ et 0, ces facteurs, pris ensemble, conservent les mêmes valeurs absolues, et ne font que se substituer les uns aux autres; mais il y en a un certain nombre qui changent de signe.
!• Les factenrs (a.— ai)(a,— a^...(Oo — fle-4) de la première ligne et les facteurs (a,- — a^) (a, — a,)...((Fe — Oe-i) de ta sccouâe ligne» ne font que se changer les uns dans les autres.
S* tes facteurs (0^+1— ae)(ae+t — flc)..-(^#'-i— «•)>
(a, — ae+i) («0- — a.+t) . • • (fle- — a#-i)f
échangent leurs valeurs absolues; mais chacun d'eux deiuent égal et de signe contraire à celui qui lui correspond. Gela fait en tout 2 (c' — c — 1) changements de signes, qui n'exercent pas d'influence sur le signe du produit.
3* Le facteur
change de «igné sans changer de fdeur.
4*» Les facteurs {a^^ — «,) (0,^.1 — «,)... (a.— Og)
(flev^t— <Ki) (o^Hj— fl.)-.. («'.— a.)
ne font que se changer les uns dans les autres.
En résumé, le seul changement, que subisse le produit, prolient du changement de signe de (a«— o^; et, par suite, P et fi changent de signe, sans changer de valeur, lorsqu'on change c en d^ et if en o.
ZU. CoROLLAnrE, H résulte de la proposition précédente, que, dans chaque terme des polynômes V elK^les exposants de deux kttres Se et Se- sont toujours inégaux.
Si, en effet, dans un terme de ces expressions, a. et a«-ffviiienA le même exposant, ce terme ne changerait pas par le changement des indices cetcf; il ferait donc partie du polynôme + P et dn polynôme égal et de signe contraire — P; et, par suite, il entrerait deux fois dans P avec des signes différents, et pourrait être supprimé.
U est clair, d'ailleurs, que chaque terme contient, au moins une fois, chacun des facteurs Oi, afl...a.; et comme Texposamt de-ees kflres ne surpasse jamais n, ils ne peuvent être tous différents, qu'en reproduisant, dans un certain ordre, la série des
nombres 1, 2 ...n; en sorte que le terme général de P (on de R, car c'est la même chose) est
oi, ai...a,y désignant les nombres entiers 1, 2...n, pris dans un certain ordre.
On pourra donc, en intervertissant convenablement les facteursy écrire ce terme général de la manière suivante :
Pu Ps •••?•> représentant aussi les nombres 1, 2...ny écrits dans un certain ordre.
348. Formation de R. Cette remarque permet de former tous les termes de R ; mais il reste à déterminer le signe qui convient à chacun d'eux. On remarquera pour cela que, si l'on change dans R (359) deux indices inférieurs l'un dans l'autre, R doit changer de signe. Les termes positifs doivent donc se transformer en ceux qui sont actuellement négatifs, et réciproquement. En faisant deux changements d'indices de suite, les termes pri* mitivement positifs reprendront le signe + (sans que pour cela chacun d'eux reprenne sa valeur) ; et, en général, un nombre pair de permutations, effectuées sur deux indices, changerait les termes positifs entre eux, tandis qu'un nombre impair de permutations transformera les termes positifs en termes actuellement négatifs, et réciproquement.
Si donc on veut savoir, si deux termes donnés ont le même signe ou des signes contraires, il suffit de compter le nombre de permutations d'indices inférieurs nécessaires pour passer de l'un à l'autre : si ce nombre est pair, les termes ont le même signe ; s'il est impair, leur signe est différent.
D'après cela, pour former tous les termes de R, on prendra le premier terme
puis on changera successivement les uns dans les autres les indices inférieurs, en ne faisant qu'un seul changement à la fois, et changeant chaque fois le signe du terme obtenu.
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES Si, par exemple, n = 3, on obtiendra:
ai'a,*o,* — ^a,'(i,'(ii' + «l'oi'Ot* — ti,'fl,'a,'-|-a,'o,*ai' — ait
expression dans laquelle chaque terme s'obtient (îu précé en changeant son signe, après avoir interverti deux indict férieurs de la lettre a.
338. Formule générale qui représente la valeur d'cne iDCODnue fusBDt à un &73téme de n équations à n inconnues. — 340. Le minateur commun change de aiguë, lorsqu'on permute deux îi inférieurs l'un avec l'autre. — 341. Les indices supérieurs de lettres sont toujours inégaux, dans un même ter.re. — 342. Fi lion du dénominatear commun.
