DÉFINITIONS
543. Quand on veut èiraluer approzîmatiyemeDt nn nombre », la représentation la plas simple, mais souvent fort insaffisante, consiste à le réduire à sa partie entière.
Lorsque le nombre est moindre que Tunité, un tel mode de représentation est non -seulement insuffisant, mais devient absolument dérisoire. Dire qu*un nombre est nul en négligeant lis fractions^ c'est commettre une erreur infinie, celle-ci se mesurant, on le sait, par le rapport de la quantité négligée à la valeur approchée obtenue.
Pour évaluer un nombre y plus petit que l'unité, on peut
considérer la valeur inverse -, qui est plus grande que
Tunité; et si b est la partie entière de -, la valeur approchée
de y sera -r.
Gela posé, pour évaluera? avec une exactitude de plus en plus grande, on posera
il I ^ I ï I t
^1 *tt ^8 i^ik
Cl, a,,..., a^^i étant les plus grands nombres entiers contenus dans â?; a?!,..., Xn-i, et l'on pourra écrire
Cette expression se nomme une fraction continue ; elle four-
nit la valeur exacte de x. Si Ton supprime la deroiëre fraction
— y tous les dénominateurs a^, Oi,..., a»^ étant enti^s, <m aura
des valeurs d'autant plus approchées que n sera plus grand, et dont nous aUons étudier la loi.
544. Nous démontrerons d'abord que la fraction continue se termine, et que le dénominateur Xn devient nécessairement entier pour une valeur convenable de n, toutes les fois que x est commensurable.
Soit en effet a?=r^, P et P^ étant deux nombres entiers;.
pour obtenir a, il faut diviser P par P^, et Ton aura
Pi étant nu)indre que Pi, on en déduit
P 1 Pj.
par conséquent ari = —• ;
Pi ai est la partie entière de jj- ;
Soit Pi=aiP2 + P|.
Pi étant moindre que Pj, on en déduit
Pi ^ ,P».
Pî
par conséquent ^ = p- »
p fit est la partie entière de ^.
On voit clairement que «i, Oj, cfs,... sont les quotients successifs obtenus en faisant sur les nombres P et Pi l'opération ordinaire destinée à donner le plus grand commun diviseur. On sait
37 i APPiNEDIGB.
que cette opération se termine toujours, et que l'une des divisions
p successives se fera exactement. ^ sera représenté alors, sans
que rien soit négligé, par une fraction continue.
La réciproque est évidente : une fraction continne composée d'un nombre limité de termes peut toujours se réduire» par les calculs arithmétiques les plus simples, à une fraction ordinaire à termes entiers.
34tt. Considérons la fraction continue
Les valeurs approchées successives de x, que Ton nomme ks réduiUSj sont
On les obtient en arrêtant successivement les fractions avant le premier dénominateur ou quotient incomplet a^, ou avant le second a^* I^ troisième di, etc....
Les réduites sont alternativement plus petites et plus grandes queâ?.
a, en effet, est évidemment trop petit, puisque, pour le compléter, il faut lui ajouter une fraction positive.
a-| — est trop grand, car, pour le compléter, il faudrait
augmenter le dénominateur Af
a H p est trop petit, car, pour le compléter, il fondrait
accroître Ofl» diminuer par conséquent le dénominateur a^-j — et augmenter la valeur totale de Texoression.
a-j p est Irop grand, car, pour le compléter, H
faudrait augmenter Ot, diminuer par conséquent Os H — » augmenter par là le dénominateur de la frafction
que l'on ajoute à a, et diminuer par conséquent cette fraction.
Le même raisonnement peut se continuer indéfiniment.
PROPRIETES DES REDUITES.
546. Le calcul successif des réduites est très-simple. La première réduite est a; La seconde réduite est
, 1 ag| + l
La troisième réduite s'obtiendra en remplaçaut, dans la se-
conde, Ci par ai -f — ; elle est
(aax+ \)ai+a
La quatrième réduite s'obtiendra en remplaçant, dans la troisième, Of par ai+ --; elle est
374 APP£^DlGfi.
Le calcul s'applique, sans aucune difficulté, à toutes les réduites mccessiTement
Si 7^ et 7^ sont deux réduites consécutives, la réduite soi-
▼ante ^ est représentée par
c^ étant le dernier dénominateur ou quoUetU inconfbt introduit
P dans la formation de ^.
La règle se vérifie pour les premières réduites. Pour prouver qu'elle est générale, admettons qu'elle soit nxaîe pour une valeur de n, et que l'on ait
P,P.-,an+P,-i.
p pour former la réduite suivante t^ , il fondra remplacer a„
par On + - — » et l'on aura
«•est-à-dire ^^ = !!"''"-"* t ^""^
La règle de formation s'applique donc à ^^i, et elle est par
conséquent générale.
547. IA$ réduites sont des fractions irriduetibles. Sciait ~^,
^, ^ trois réduites consécutives, on a, en nonmmnt fl„ le
RËSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTAN
quotknt iTwompîet qui termine la fraction représentée
Oa en déduit
■tr
On a anssi
, identiquement,
Les nnmérateiirs des seconds membres sont égaux et coalraires. Par conséquent, si l'on calcule les diffé chaque réduite avec la précédente, tous les numéi'atei en valeur absolue, seront allematiTement poaitirs et mais les premières réduites sont
el l'on a
Le numèrateor constant est donc l'unité, el l'on s, ei [5] P.a.-.-P.-.Q.=±l.
Cette équation montre que la réduite .y est irrédui
6i P* et Q. avaient un Gitcleur commun, ce facteur, d deux termes du premier membre de l'équation [ï diviser leur différence ± 1, ce qui est impossible.
S48. La valeur exacU de la fraction continue at com deuaS Tidviut consècutinet, et chaque rii^Ue oj^proeke f pricidmu.
Considérons la fraction
et soit ^ la réduite obtenue quand on s'arrête an quotienf
incomplet a,; soient g^^, —^ les deux réduites précédentes.
on a
Pn ^ P^-lOnJJVl .
mais, en remplaçant a. par l'expression a» H . l
dont il représente la partie entière et que nous nommons x^* on obtiendra la fraction continue exacte x, par conséquent
Xn étant un nombre compris entre a. et On+l- Si Ton résout celte équation par rapport à a;», on en déduit
d'où
Pii-i
Le premier membre étant positif et plus grand que Punité, p p
x—rr=^ et 7^ — X sont de mêmes signes, et la seconde diffé-
rcnce est moindre que la première. Ce qui démontre le théorème énoncé.
549'. La fraction continue étant comprise entre deux réduites
p consécutives, l'erreur commise ens*arrêtantàune réduite 7^. est
On
moindre, évidemment, que la différence entre cette réduite et la suivante, -pr-T^ — ; elle est plus petite, à fortiori^ que l'unité
WnWn+l
divisée par le carré du dénominateur de la réduite, r-*^.
VM
350. Aucune fraction à termes plus petits que ceux d'une réduite ne peut approcher plus qu'elle de la valeur exacte de la
fraction continue. Soit ^ une fraction plus approchée que la ré-
duite TT^; cette fraction évidemment est comprise entre ^^ et
j^ , car si la différence x — » est de même signe que rr^ ^7
Un-! p Un
2 est compris entre -t^ et x; et si elle est de signe contraire,
p Un
7^ approchant moins de x que 7^, il faut que ^ soit compris
Un-l Un p
entre x et ^. La différence
P Q»-i ~ PU--!
est, d'après cela, plus petite en valeur absolue que
mais le numérateur de [8] est au moins égal à celui de [9] , puisqu'il est entier; le dénominateur doit donc être plus grand, et l'on a
on peut prouver que l'on a aussi
la fraction r étant comprise en effet entre r^ et j^ , - est
0 0 comprift entre ^ et 5^, et la différence
p Q>-i PPn-i— «Q.a
est pins petite par conséqaent en valeur absolue que
P« P-i"' PJV, ~-Pnf^.
on en déduit
Les deux ternies de t sont donc plus grands que ceux de 7;^;
On aurait pu se borner à prouver que le dénominateur p est
plus grand que Q,» si en effet jr» /Tt tt» ••• t tt*** «>o^ les ré-
l/l Ui Ul Va
duites de la fraction
x^aA — , 1
€t que I soit compris entre ^ et ^ : les fractions inverses p,
pp..., |p... seront les rédoites de
et la fraction - sera comprise entre ^^ et ~; la démonstration
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IHPOBTANTES. De pouvait donc manquer de se faire absolomeat de la oc manière pour les fractions inverses.
