FRACTIONS PÉRIODIQUES

S3I. Soit la fraction , i

dans laquelle les fractions int^rantes se reproduisent pét quement sans s'arrêter jamais. On a évidemment

p p * période, 7p-^t fr-^ les deux réduites précédentes, on a

nlafs, pour obtenir la fraction complète a;, il fout évidemi

d'après [10], changer dans t^, a, end.-] — ; on a donc

Q„(„. + ij + 0„ w-.»-+u-*»+«-. «•»-

o; est par conséquent racine de l'équation

et comme cette équation n'a qa'ane racine positive, il ne pedl y avoir d'ambiguïté.

558. La valeur d'une fraction périodique mixte se calculera par une méthode semblable.

Soit

dans laquelle, après n+l fractioDS , qui n'appartienueut pas à la période, commence la période de m termes. Soit

on aura

et si 7p^, 7^ sont les deux réduites (d>tenues en s'arrètant aux

V«-i Vu

frac ions cl —, on aura

y étant connu d'après le paragraphe précédent» x le sera également. Soit» par exemple,

RËSOLUTIOH DE QUELQUES QUE$TI0:<3 IHPOilTANTEi en posant

on aura

Par conséquent,

Les réduites successives de la Traction [1 1] sont :

et chacune de ces fractions approche de v's plus qn' autre dont les termes seraient plus simples. L'erreur ci en adoptant l'une d'elles est moindre que l'unité divi le produit de son dénominateur par celui de la fractii vante.