Soient f{x) = 0, ¥{x) = Q

deux équations algébriques, la première de degré n, la seconde de degré m égal ou inférieur an. Pour éliminer x entre les équations, il sufGt» d'après une remarque faite à la môme époque (176(i) par Euler et par Bezout, de les combiner entre elles par addilioUi après les avoir respectivement multipliées par deux polygones i* et t>, le premier de degré m — 1 et le second de degrén— I9 en choisissant, bien entendu, les coefficients de ces polynômes de manière & faire disparaître du résultat toutes les puissances de x. Les équations à résoudre seront toujours du premier degré, et l'opération, souvent fort longue» il est vrai, ne présentera aucune difficulté.

Soient par exemple les équations :

[2] F(a;) = Aa?»+Ba?+C = 0,

nous écrirons :

[3] (Px + Q)fix) + {px^+qx+r) ¥[x) = 0,

en choisissant p, q, r, P, Q, de manière à faire disparaître x de réquation [3], qui sera alors le résultat de l'élimination ou équation finale.

Ces coefficients devront, pour cela, satisfaire aux équations

aP + Ap=0 6P + oO+B/) + Aç = 0 [4] < cP-f ^0+Cp + Bg + Ar=0

d?+ cQ-f Cg+Br = 0 dQ 4- Cr = 0.

Quatre quelconques de ces équations déterminent les rapports des coefficients p, g, r, P, Q; le cinquième doit être une conséquence des quatre autres. Puisque quatre des équations [4] étant satisfaites, l'équation [3] se réduit précisément à la

RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS lUPOl cinquième, le système [4] doit admettre une i que p=0, q=0, r = o, P=i o, 0 = o, et poi que le dénominateur commun, ou déterminant c soit oui; l'équation finale est donc

o 0 A 0 0 ) ft o B A 0 / c 6 G B A J =0, d c 0 C B \ 0 d 0 0 C ] le carré indiquant le dénominateur du système à lions du premier degré dans lesquelles les cinq li taies représentent les coefficients des inconnues '.

SSi. La méthode précédente, si Tacileet si élégs en théorie, entraine dans les applications de trè; gueurs. Si l'on veut p:ir exemple l'appliquer à c de quatrième degré, le déterminant qu'il faudra dénominateur commun résultant de liuit équal connues; il se compose de 40 330 termes I Beauc( sont.il est vrai, égaux à zéro; mais la recherche^ leur signe serait une opération longue et pënib cile. Il est beaucoup plus aisé d'éliminer suc» puissances de x sans en introduire de degré ] celles qui Ggurent dans les équations proposée équations :

^ ^ î Aa;-+aE"-' + flt-' +Hx + K=

on commencera par leur substituer deux équii n — 1, que l'on obtient en éliminant entre elles i la puissance iB" et le terme indépendant de a; ; on le second cas le facteur x, qui devient commun mes, et l'on obtient les deux équations suivantes . j (A6 - aB) ar-' + (Ac - aC) x^^-h- .. + i

'■ L^ }(Aft— ûR)«-'+(Bfc — 6K)x"-'+... + l Lfi même méthode appliquée à ce système [s] par deux équations de degré n — 9 ; et en contint on obtiendra une seule équation de degré zé

3Sk APPENDICE.

rëliminatioo entre les deux équations du premier degré qoi formeront le n* système. Celte équation est réquation finale.

Si les deux équations proposées ne sont pas de même degré, la méthode doit être légèrement modifiée ; mais cetie circonstance, on le comprend, ne peut que la simplifier. Soient pai exemple deux équations, Tune de quatrième^ Tautre de second degré :

[1] a3^ + ba:^+cx^ + dx+e = 0^

[2] Aa?» + Ba? + C = 0;

on fera disparaître d'abord les termes indépendants de x, en retranchant l'équation [l] multipliée par C, de [2] multipliée par e; et en supprimant dans le résultat le facteur x^ on aura une équation de troisième degré, qui, combinée de la même ma* niëre avec [2], donnera une équation de second degré, et Ton appliquera aux deux équations de second degré la méthode générale indiquée précédemment.

SSâ. On a enfin proposé une troisième méthode, qui, comme les deux autres, réduit toutes les équations au premier degré en y considérant les puissances diverses de la lettre à éliminer comme autant d'inconnues distinctes. Nous nommons cette méthode, d*après Gauchy, méthode abrégée de Bezout.

Soient toujours f{x) = 0, F(a?) = 0

deux équations algébriques, la première de degré n, la seconde de degré égal ou inférieur à n ; posons :

les coefficients désignés par 6o, bi,..., 6,», pouvant être, en partie, égaux à zéro.

Pour éliminer a;** entre les équations [1], écrivons-les sous la forme

c désignant le nombre n ou Tun quelconque des nombres inférieurs, en les divisant membre à membre, et supprimant le fac-

leur x% commun aux deux termes du premier membre, on aura

et, en chassant les dénominateurs, on obtiendra une équation de degré n — 1 en a?. Mais cette équation peut évidemment prendre n formes différentes, suivant la valeur attribuée au nombre c, et qui peut être, nous l'avons dit, l'un quelconque des nombres non supérieurs à n; nous aurons donc un système de n équations dUtinctes^ de la forme

Aoji^ ~ iAiiia!'*" -f-...-f-A»j,ia/ "l'Ail -1,1 = 0,

Ao.«-iar'*-*+Ai,«-,a;"-*+...+A«-,,a-ia;+A«-,in-i = 0,

dont la première et la dernière sont précisément celles que l'on emploie dans la méthode précédente.

Pour éliminer rr, il suffira, dans le système [2], de considérer Xf x^y..., â?"-^ comme autant d'inconnues distinctes, en expri» mant que toutes ces équations sont compatibles.

On peut remarquer qu'en multipliant les derniers termes A».i,o, An^9u...f AnMin-i par ime même inconnue nouvelle u, on formera un système de n équations à n inconnues x, o;^,..., a?*-*, u, dont on aperçoit immédiatement la solution a? = 0, iT* = 0,..., u= 0, et comme elle ne peut convenir, qu'il doit en exister une autre au moins pour laquelle u=l, le déterminant du système des coefficients doit être nul, et Téquation finale est

Aqiq Ai,0 Af,0 . • Afi^tfo 1

'^ê»! Ai,i Aiii ... An— 1,1 \ /%

*^0>»-l "1»«— 1 Ajjn— l •• An— i,n-l J

résultat beaucoup plus simple que celui obtenu [234], puisque le déterminant à former ne contient que n colonnes de n quantités, tandis que l'autre, dans le même cas, aurait contenu 2n colonnes. Or, le déterminant de quatre équations à quatre inconnues contient 24 termes, celui de huit équations à huit inconnues en contient 40 320.

Alg. sp. B. 25