Exemples. On trouve, par la méthode précédente

1* ' ■ s::g* 4- flC -I- ■

* «1 — 3 * ^ ^jf — 3'

7»» + aj — 1 T*"*" 7«^+«— 1 '

Si le degré du polynôme A était moindre que celui de B, le quotient Q serait égal à zéro, et le reste R serait égal au divi* dende lui-même.

75. Remarque. Quand on applique au quotient de deux polynômes A et B la transformation précédente, on donne au poly- Alo. b. l^ Partis. 4

50 UYAfi L

DomeQ le nom de quotient entier^ et au numératenr R de la fraction -g celui de reste de la division.

74. Cas ou l'on change la lettre ordonnatrice. Nous ayons prouvé que, les deux polynômes A et B étant ordonnés par rapport à une même lettre rr, le quotient entier et le reste ne peuvent avoir qu'une seule forme (71). Mais, si l'on change laiettre ordonnatrice, les mêmes polynômes peuvent conduire à un nouveau quotient et à un nouveau reste. Si l'on considère». par exemple, la fraction

en ordonnant par rapport à x^ on trouve pour quotient a;*— y^, et pour reste 2y*. Si l'on ordonnait, au, contraire, par rapport à y, on trouverait pour quotient y'^—of^ et pour reste âa?*; en sorte que l'on a :

Sic*

$ V. Diffërences et analogies entre la division arithmétique et la divisioa

des polynômes.

7B. Les polynômes ordonnés suivant les puissances d'une même lettre, présentent, avec les nombres entiers, des analogies qu'il est bon de remarquer. Un nombre entier, comme 783214, exprime (7 X 10*) + (8 X 10*) + (3X 10*) + (2 XIO*) +(1 X 10)-f-4; et l'on peut l'assimiler au polynôme

dans lequel on aurait supposé â7=10. Les chiiOfres du nombre sont ainsi les coeflicients des termes du polynôme. Il ne faut pas croire cependant, que toute question d'arithmétique, relative à des nombres entiers, soit purement et simplement un cas particulier d'une question d'algèbre, dans laquelle ces nocnbres seraient remplacés par les polynômes cdï'respondants»

^ Comparons» par exemple, les deux questions suivantes : Difîser 7a3Sl4 par32l :

Difiser Trc'+S^+Sa^^+Sa^+^+^par^ap^+Sx+l.

Les conditions des deux problèmes ont entre elles des différences essentielles, qui ne permettent pas de considérer le premier comme un cas particulier du second.

!• Les divers chiffres du quotient de la division arithmétique doivent être entiers ; tandis que le quotient de la division algébrique peut être un polynôme, entier par rapport à «, dont les coefQeienis soient des nombres fractionnaires.

2* Les divers chiffres du quotient et du reste, dans la division arithmëtiqae, doivent être moindres que 10; tandis que rien ne limile la grandeur des coefficients des diverses puissances de x^ dans la division algébrique.

3* Dans la division arithmétique, le reste doit être moindre que le diviseur. Dans la division algébrique, il doit être de degré moindre.

4* Enfin en algèbre, les résultats obturas conviennent pom* toutes les valeurs de a? : il n'y a pas de confition analogue en arithmétique.

S^YL Théorèmes et appUcations.

76. Théorème. Si un polynôme, entier en x, est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre, le reste de la division de ce polynôme par le binôme (x— a) s'obtient en remplaçant ipar a dans le polynôme.

En efiiet, le diviseur (a; — a) étant du premier degré, on pourra pousser la division, jusqu'à ce qu'on obtienne un reste de degré moindre, c'est-à-dire indépendant de x. Soient donc X le dividende, Q le quotient, entier en x, qui résulte de cette division,. et Rie reste. On aura identiquement la formule :

Or, cette égalité a lieu pour toute valeur attribtiée à âr; car en multipliant (x^a) par Q, et en ajoutant R au produit, on doit retrouver identiquement le poljnome X, sans qu'il soit nécessaire de donner à x une valeur particulière. On peut donc y supposer x=^ a. Or^ cette hypothèse annule le facteur {x--a);

elle donne à Q une valeur déterminée; elle annule donc le produit {x — a) Q. D'ailleurs elle ne change pas la valeur de R, qui ne contient pas x : donc si Ton désigne par X«, la valeur que prend X, quand on y remplacera par a, l'égalité se réduit à

C'est ce qu'il fallait démontrer.

77. Corollaires. 1* Si un polynôme X devient nul^ quand on y remplace x par a, U est divisible par (x— a). Car Xa^ étant nul par hypothèse, le reste R de la division est nul aussi.

2° Si un polynôme X est divisible par (z — a), U se réduit à zéro, quand on y remplace x par a. Car le reste R étant nul par hypothèse, il en est de même de X..

Ainsi^ pour qu'unpolynoms, entier en x, soit divisible par (x — a), {/ faut et U suffit qu'il se réduise à zéro, quand on y remplace x para.

7B. Cette dernière proposition est d'une grande importance. Bornons-nous à en signaler quelques conséquences : m est, dans ce qui.suit, un nombre entier quelconque.

!• (x" — a") est toujours divisible par (x — a). Garce polynôme s'annule, quand on y remplace x par a.

20 ^xm|.a«) n'est jamais divisible par (x — a). Car, en remplaçant X par a dans le dividende, on obtient le reste 2a^.

30 (x«— a") est divisible par (x+a), quand m est pair, et ne Fest pas, quand m est impair. En effet, diviser par {x+a)^ c'est diviser par [x — (—a)] : il faut donc, pour avoir le reste, substituer (—a) à X. Le dividende devient alors [(—a)*— a*]. Or, si m est pair, on a (40) (— a)*=a*'; et si m est impair, on a (— ay=—a'*. Donc le reste est nul dans le premier cas, et il est (— 2a"*) dans le second.

40 (x"»-}-a") est divisible par (x-|-a) quand m est impair, et ne Vest paSf quand m est pair. Car, en substituant encore (—a) à a?, le dividende devient [(—a)" -fa"]. Il est donc nul, si m est impair ; et il est 2a", si m est pair.

70. Loi du quotient db la division d'un polynôme par (aï— a). Nous avons fait connaître la loi, d'après laquelle on obtient le reste de la division d'un polynôme par (x—a) (76). On peut aussi découvrir aisément la loi du quotient. Représentons le poly-

nome par A,x*-f Aia^^-^+Arr^-'+'-'+Aw-jX^-j-A^^^-fA», et cherchons à effectuer la division.

X — a Div

Di^ A«*-4-A,dt— «4-A:X"^+...+A aJ»+A»-,«4-A«

*— •+Aia?»-»+...+A.i 3«»+A— iX+A, A»j— »+A,a

+Ai

Le premier terme du quotient est A^o^^^ Eu multipliant le diviseur par ce terme, et en retranchant le produit du divi^ dende, on obtient un premier reste, dont le premier terme est (A,a -j- At)a5*~S et dont les autres sont les termes mêmes qui suivent le second dans le dividende. Le second terme du quotient est (A,a-f-Ai)a;*^'; pour avoir le premier terme du second reste, il faut multiplier par a le second terme du quotient, et lui ajouter le troisième terme du dividende : on obtient ainsi (A|a"+Aia+A^ar-*. Par suite le troisième terme du quotient est (A«a'4- Aia+A^x*^. En continuant le calcul, on met facilement en évidence la loi suivante :

Le guottenl tun polynomey entier enx^ du degré m, par (x ^a), est un polynôme^ entier en x, du degré (m — 1). // est ordonné, comme le polynôme proposé, par rapport aux puissances décroissantes de x. Le coefficient du premier terme est celui du premier terme du divi^ dende. Pour obtenir le coefficient du second terme, on multiplie le précédent par a ; et F on ajoute au produit le coefficient du second terme du dividende. Pour former le coefficient du troisième terme, on multiplie celui que Von vient de former par a, et Von ajoute le coefficient du troisième terme du dividende. Et, en général, le coefficièni du n"** terme est égal au produit du coefficient précédent pardi, produit augmenté du coefficierU du vr* terme du dividende. Si le dividende n'est pas un polynôme complet, il faut rétablir les termes qui manquentfXn leur donnant zéro pour coefficient.

Exemple. Trouyer le quotient et le reste de la diTision du polynôme 3f»4^ — Ss' + T par s ^2. On écrit ainsi le dividende

OD trouTe pour quotient 3x* + 2«» + 4«* + 6* + 12, et pour reste 31 . Si Ton applique la loi précédente aux exemples du n* 98, on trouve :

op + a '

si m est pair;

et î!!ll^=a;»-»— (Mf^+a*x— •- 4-a— ^a;*— fl*^«+a— ' — ??^,

si m est impair.

si m est impair;

et:^-4^^=ar- »— oa— »+a^-^- — a—»»» + a— '«— o— '4--^.

si m est pair.

On peut, d'ailleurs, obtenir directement ces formules.

80. Théobèbie« Si un polynôme A, entier en x, se réduit à zéro^ quanà on y remplace x par a, ou par b, ou par c (a, b, c, étant des nombres inégatuc)^ ce polynôme est divisible par te produit

En effet, puisque A s'annule pour x=ay'û est divisible par {x — a) (77). Si donc on désigne par Q le quotient, entier en x, que Ton obtient^ on a :

Cette égalité ayant lieu, quel que soit x^ on peut y supposer a?=& ; et, si Pou désigne par Q* la valeur de Q, dans celte hypothèse, l'égalité devient

Or, la différence (6 — a) n'est pas nulle, par hypothèse: donc 0*=0. Donc Q est divisible par {x—b) (77). Désignant le quotient par Q', on a :

et par suite, A = (a? — a) (a? — 6) Q'.

Celte égalité ayant lien, quel que soit a?, on peut y supposer (V = c ; et elle devient :

Q*. étant la valeur que prend alors Q\

DU CALCUL ALGËCRIQUE. 55

Or, les difiërences (c — a), (c— 6), ne sont pas nulles : donc Qf^ doit être nul. DotieQ' est divisible par (a?— c); et, en désignant le nouyeau quotient par Q% on a :

d'où A=(a?— a) (a?— 6) (rr— c)Q\

Donc A est divisible par le produit (x — a) {x — b) (x — c).

EXERCICES

L TroaTer la condition nécessaire et suffisante pour que (x"~a") soit divisible par («•—a").

Il faut et il suffit que m soit dlTisiblepar n.

il. ProuTer que le polynôme

est diTLsible par le produit («— y) («— ji) (y •— x), nL Prouver que le polynôme

est divisible par le même produit.