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(82) par ia forme -r. Cette expression porte le nom de fraction

algébrique. Le dividende A est le numérateur; le diviseur B est le dénominateur : A et B sont les termes de la fraction. i

Une fraction algébrique est plus générale qu'une fraction i arithmétique ; car les termes de la première né sont pas, comme ceux de la seconde, assujettis à être des nombres entiers. Hais nous allons montrer que les règles de calcul sont communes aux deux genres de fractions.

$ I. Transformation des fractions algébriques.

89. Théorème. On n'altère pas la valeur d'une fraction algébri-que, en multipliant ses deux termes par une même quantité.

En effet, soient ? la fraction proposée, et m le multiplicateur.

Représentons par une lettre q le quotient de la division de a par 6 : on a, d'après la définition même de la fraction,

a=bq.

Multipliant par le même nombre m ces deux quantités égales,

on a :

am = bqm = bmq;

et, divisant par bm les deux produits égaux, on obtient Tégalité

^ am am a

bm ^' bm 6'

qui démontre le théorème.

La même formule prouve que Von ri altère pas la valeur d^une fraction, en divisant ses deux termes par une même quantité.

Le principe fondamental étant ainsi le même eu algèbre qu'en arithmétique, les conséquences seront les mêmes.

85. Simplification des fractions. On simplifie une fraction algébrique, en supprimant les facteurs communs à ses deux termes (82).

Lorsque les deux termes sont des monômes, il est toujours facile de découvrir leurs facteurs communs.

Soit| par exemple, la fraction . ^ .^ , Le plus grand commun diviseur des coefficienU eit 4; quant aux facteurs littéraux communs, on reconnaît immédi»-

tement on fiictear a, trois facteurs b, un facteur e, et un (acteur d. En lea sup-

9a'e pnmant,onobUcnt la fracUonsimpUBée^pj^.

Lorsque les deux termes sont des polynômes, on troave encore immédiatement leurs facteurs monômes communs.

Ainsi, dans la fraction ^.__ ^.^ , on aperçoit le lacteur monôme 4o'6 : SI on le supprime. la fraction se réduit à -r— ^ — ^r-r»

Hais il n'est pas aussi facile de découvrir les facteurs polynômes qui seraient communs aux deux termes : la recherche de ces facteurs se rattache à la théorie du plus grand commun diviseur algébrique, qui appartient à l'algèbre supérieure. Cependant il arriye (|[uelquefois que des caractères particuliers permettent de les déterminer.

Prenons pour exemple la fraction

o«~2o» + 4a'--7a-f4 a» + oa — 6

On reconnaît que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour Phypothèse a=l : ils sont donc (77) divisibles tous deux par (a-* 1). Si l'on supprime ce bcteui commun, la fraction se réduit à

a + 6 De même la fraction

8aVd»-.72yc^»

peut s'écrire, en isolant les facteurs monômes communs aux termes du numérateur, et les facteurs communs aux termes du dénominateur,

6c'dMa— 3 b) '

et, sous cette forme, on reconnaît que 2c^ (a— 36) est commun aux deux termes. La fraction se réduit donc à