A UNE SEULE INCONNUE
S I. Règle pour résoudre Téquation.
187. Exemples. Les prindipes, exposés dans le chapitre pré« cëdenty suffisent pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue. Donnons-en quelques exemples.
ExBMPLe I. Soit l'équation
On chasse d'abord les dénominateurs (125) , en multipliant les deux membres par 84, qui est leur plus petit multiple commun. L'équation
est équivalente à la première; car le multiplicateur est numérique (122).
On fait ensuite passer dans un membre les termes qui contiennent Tinconnue, et dans l'autre ceux qui ne la contiennent pas (121) : on obtient ainsi
252*— 21a;-20aJ— 168» = 1092 + 112,
ou, en réduisant les termes dans chaque membre,
équation équivalente à l'équation [2J, d'après le principe (If 8).
Enfin on divise les deux membres par 43 (122), et Ton obtient l'équation équivalente
Or, cette dernière équation est vérifiée, quand on y remplace x par 28 : et elle n'a pas d'autre solution. Donc l'équation [1] admet la solution 28. et n'en admet pas d'autre.
On vérifie la solution en remplaçant « par 28 dans l'équation [1] ; les deux
membres deviennent égaux à 75-»
ExEMPU II. Les eoefSeients peuvent être algébriques. Soit l'équation
Cia + t)y g'b» o,T,t.. Soie ,,,
On multiplie tous les termes par a (a + b}*, plus petit multiple commun des dénominateurs : l'équation nouvelle
=3ac(a + 6)»aj + 6 (a + b)»«— 3o»6c (o + 5)«
est équivalente à la première, pourvu que Ton ne fasse pas ultérieurement l'hy-
pothè9ea=0, ou Thypothèse 5= — a, dont chacune annule le multiplicateur (124).
Ou fût passer les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l'aatre. Uéqoation
a»ft«+3a>bc(a + b)»
= 3 oc (o4-W*«+& (a + b)»«— (2a + &) b*(a + &) » [3]
est équivalente à la seconde.
Pais on met x en facteur commun dans le second membre, ce qui donne :
oV + 3a>bc (a + 5)»={3ac(a+b)»+b(o + 6)»— (îo + b)5« (o + b))*,
et Ton (^TÎse les deux membres ^ le coefficient de x. On a ainsi une nourelle équation :
*""3oc(a+b)» + 6(o + 6)^— (2a + 6)l>>(a + &)* '*^
qui sera éqdTalente aux autres , si quelque hypothèse n*annule pas le dénominateur. Or, le numérateur est égal à a'6 ( ab + 3c (a + b)' ) . Les deux derniers termes
du dénominateur peuTent s'écrire
b(a+6)l(a + t)'-5(2a + 6)), ou, en réduisant, ' h{a-\-h) a^.
Donc le dénominateur s'écrira :
3oc(a-h5)»-*-o>6(a+5), ou, en mettant a (a + b) en facteur commun,
a(a+b)(a& + 3c(a + &)M« Donc enfin la yaleur de x peut s'écrire :
a{a-\- b){ab + 3c (a+ b)* j ' •- '
ou, en supprimant les facteurs communs,
<ib 1^1
Comme le dénominateur de la formule [5] devient nul, soit pour a=0, soit pour h=^a, soit pour c=— \h\t* *^ faudra s'abstenir, dans les applications, de ces trois hypothèses.
On vérifie aisément que la solution trouvée satisfait à l'équation [1].
128. RiGLE GÉNÉRALE. Od coDclut de ces raisonnements la règle suivante : Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue: 1* on chasse les dénominateurs; %^ on transpose dans un membre les termes çui renferment Finconnuef et dans Vautre ceux qui ne la contiennent pas; 3* on réduit dans chaque membre les termes semblables; k^ on divise le terme indépendant de ^inconnue
par le coefficieni de cette inconnue. Le quotient est la yakor de rinconnue, sous la réserve des restrictions que nous avons énoncées. On vérifie â*ailleurs cette valeur, en la substituant dans réquation proposée, qui doit se transformer en identité.
$ II. Ëquations qui se ramènent au premier degr6.
Une équation, qui n'est pas du premier degré, peut, dans certains cas, y être ramenée, à l'aide de quelques transformations. Nous en donnerons quelques exemples.
