L'équation est irrationnelle
Exemple I. Soit récpiation*
V^4+7'==4— v'ïi Ul
Si Ton élère les deux membres an carré, il vient :
où f en faisant passer les termes inoonnas à ganche , les autres à droite, et supprimant ceux qui se détruisent,
8v'«=12, ou 2V»==3. [Z]
Élevant encore au carré, on a :
[4] 4«=9, d'où «=j. [5]
Gomme toute solution de l'équation [IJ vérifie toutes les suivantes, qui en
sont des conséquences, et que Téquation [5] n'admet que la solution s =r ^ , il
est clair que Téquation [1] n'en saurait admettre d'autre. Mais il n*est pas certain que cette valeur satisfait effectivement à cette équation: car on a, par deux fois, élevé l'équation au carré , opération qui peut introduire des solutions
étrangères (126). Il est donc nécessaire de vérifier la solutioh trouvée par une
g sul)stituiion directe. Or, en remplaçant « par j, le premier membre de l'éqoa-
tion [1] devient :
et le second 4— v'î= 4 — i/-= 4 — ? =--.
LaTérificatioB réussit donc; mais elle était indispensable.
* Dans cette équation, \/4-}-« et ^«désignent des nombres positifg : nous laissons de cAté, pour le moment, la double valeur qu'on peut leur attribuer. 11 en sera de même dans le reste de ce obapitre.
n. Soit tncore i'équatlon
Pour fkîre .disparaître du des radicaux, on VigoU dans on membre, en éerivant
^x —y/\^xz=. v/7— 1 , [2]
et rm élèTe au carré les deux membres ; il Tient :
oô, simplifiant «t ehangeant les signes,
vT^r7=:2 ^—1. [4]
meimt de Boavaaa aa oarré, on a :
ou, simplifiant et transposant,
Élerant au carré pour k troisième fois^ nous sTons :
éqiatioB que Ton pent écrire, en mettant tons les termes dans le premier mambre,
Pour qu'un produit de deux lacteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des (acteurs soit nul. Les solutions de l'équation [8] sont donc :
L'équatinn [1] n^admet pas d'autres solutions que celles-là. Pour savoir si elle
les admet efiBCtiTemeni, faisons la substitation directe. La valeur s=0 donne :
— V~ 1= 1 , ce qui ne signifie rien ; et la valeur x=ij-t donne :
ou, réduisant, r — 7 — ^»
ce qui n^est pas vrai. Ainsi aucune des deux solutions ne convient à Téquation [1].
n est fàcûe de voir que la valeur x=:0 vérifie l'équation
\/i + v'«+ Vl-« = 1;
Ifi que la valeur x=^^ vérifie l'équation
et que ces équations conduisent toutes deux à la même équation [7l , en suivant la même marche que pour Téquation proposée.
ioO. L'équation ne renferme l'inconnue qu'à une certaine puissance ; alors elle peut être considérée comme étant du premier degré, si Ton prend cette puissance pour l'inconnue.
Exemple III. Soit réquation
On multiplie les deux membres par le produit (1 +2ir] (1 ^2x) , ou par (l—kx*); il vient :
ou, effectuant les multiplications, et supprimant les termes qui se détruisent,
Si l'on considères' comme Tinconnue^ cette équation est du premier degré, et on en tire :
, 6— o ft /b—a ...
151. L'équation ne renferme l'inconnue que sous un radical; elle est du premier degré, si l'on prend ce radical pour inconnue.
Exemple IV. Soit l'équation
ax — y y/âx — b
Comme le numérateur de la première fraction est divisible par son dônomlnateur, l'équation peut s'écrire :
ou, en chassant le dénominateur,
c Vax— cb — ^S + b =0*, [3]
équation du premier degré, si Ton prend poar inconnue le radical ^âxi On a, en transposant les termes :
(c— 1) ^ôï=c» + c6— &; [4]
et par suite.
Klèvant cette équation au carré, et divisant par a, on a:
DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRâ. 93
S III. Solution de quelques problèmoi
Nous donnerons, dès à présent, quelques exemples de Tutilité des équations dans la solution des problèmes.
18. PBOBLàMB I. Tnmver VescompU en dedans d'un biUet de 1600/^. payable dans h wwis, le tau» de Vintirêt étant 6 pourlOO par an.
L'escompte en dedans d*un billet est Tintérèt de sa valeur actuelle. Désignons cet escompte pars; on remettra au porteur 1500 — s; et il faudra que cette somme, placée à 6 pour 100 pendant 5 mois, rapporte un intérêt x. Or, IQOfr., rapportant 6fr. en 1 an, rapportent en 1 mois 0',50, et' en 5 mois 2',&0; 1 b., dans le même temps, rapporte donc 0',025; et (1500— x) rapportent O',025x(1500— s). On doit donc avoir Téquation
ou, en effectuant les calculs,
équation du premier degré, d'où Ton tire
1B00XM26 *~" 1,025 -36,585....
On remettra au porteur du billet l'excès de 1500 fr. sur Tescompte, ou 1463^41.
iSS. PaoBLfeiiE II. On a deux lingots d'argent, dont les titres sont 0,775 et 0,940 ; quel poids doit-on prendre de chacun éCeuxpour former 25 grammes d'alliage, au titre de 0,900 ?
Soit X le nombre de grammes que Ton doit prendre dans le premier lingot : i25— or) sera le poids que Ton devra prendre dans le second.
Le poids de l'argent contenu dans x grammes du premier lingot est je x 0,7 75.
Le poids de l'argent contenu dans (25 — x) grammes du second lingot est ^25—j:)x 0,940.
La quantité totale d'argent contenue dans TaUiage est donc
«X 0,775+ (25— af)X0,940.
D'un autre côté, puisque le titre de Talliage est 0,900, la quantité totale d'argent que les 25 grammes d'alliage contiennent doit être égale ik 25x0,900; on doit donc avoir
équation du premier degré, dont on déduira x=6<',0606. Donc on doit prendre :
du premier lingot 6(',0606,
du second lingot. 18<',9394
134. Problème III. Paris et Rouen sont distants de 137 kilomètres. Le charbon coûte d Paris 4',25 les 100 kilogrammes, et à Rouen 4',75; les frais de transport étasUf par tonne et par kilomètre, de 0',09, quel est le point du chemin
94 LIVRE lU
pour lequel il y a avantage égal à faire verdir le charbon de Tune ou d$ VaiOn vHU?
Soit s la distance du point cherché à Paris ; (137— d?) sera sa distance à Rouen.
Une tonne de charbon achetée à Paris coûte 42'j50.
Les frais de transport de cette tonne à la distance w sont sX 0>09L
Le prix de revient d'une tonne achetée à Paris est donc
Une tonne achetée à Rouen , et transportée à la diataoce (137 —c}, coûtera de même
On aura donc
42,50 + «X 0,09=47,50 + (137 — «) xOt»,
équation du premier degré, d'où Ton tirera
donc, distance de Paris au point cherché.... 96^,278,
distance de Rouen ' 40S722,
prix de la tonne 51S16' !•
135. Rebiarque sur la mise en équation des problébies. Ueiirt un problème m équation^ c'est exprimer, par une oa plusieurs équations» les conditions imposées par son énoncé aux quantités inconnues. Il est impossible de donner, pour y arriver, une règle complètement générale. Nous nous bornerons, * pour le moment, à Tindication suivante.
En examinant avec soin renoncé d'un problème» on verra presque toujours qu'il s'agit, pour le résoudre, de rendre certaines quantités égales entre elles. Après avoir reconnu quelles sont ces quantités, on cherchera les formules qui en expriment les valeurs; et, en égalant ces formules, on obtiendra les équations demandées. Reprenons, par exemple, les trois problèmes traités plus haut.
Problème I. Trouver l'escompte de 1 500 fr. payables dans cinq mois, c'est trouver une somme qui, placée pendant cinq mois et augmentée de ses intérêts pendant ce temps, devieime égaie à 1 500 fr.
Problème 'II. Allier de l'argent à 0,775 avec de l'argent à 0,940, de manière à former 25 grammes d'alliage à 0,900; c'est faire en sorte que la quantité totale d'argent contenue dans les S5 grammes d'alliage soit égale à 0,900 X 2S>.
Problème III. Il faut faire en sorte que le prix d'une tonne de charbon, transportée de Paru au point cherché, soit égal au prix d'une tonne, transportée de Rouen au même point.
Remarque. Dans presque tous les problèmes relatifis à des nombres, la mise en équation n'est, pour ainsi dire, que la traduction, dans la langue algébrique, de l'énoncé proposé en langage ordinaire. Il peut arriver cependant, que renoncé ne paraisse pas pouvoir immédiatement se traduire en formule; mais, en s'attacbant au sens plutôt qu'aux paroles, on ne trouvera presque jamais de difficulté sérieuse. Nous reviendrons sur la mise en équation, quand nous nous occuperons spécialement des problèmes du premier degré.
EXERCICES
