CHAPITRE m
PBEfCIPES GEIVERAUX RELATIFS AUX EQUATIONS
SIHULTANÉES.
S I. Définitions.
ISB.STsrèMES D*iQUATiONs. On entend par système (Téquatîons, Tensemble de plusieurs équations qui doivent être satisfaites à la fois. Si chaque équation ne contenait qu'une seule inconnue» on la résoudrait isolément d*aprës la méthode du chapitre pré*cédant; et il y aurait autant de problèmes distincts que d'équations à résoudre. Hais lorsque les inconnues entrent à la fois dans plusieurs équations, la question devient plus difficile.
On nomme solution du système tout système de valeurs, qui, mises à la place des inconnues, transforment les équations en identités.
137. Systèmes ÉQUIVALENTS. On dit que deux systèmes d'équations, qui renferment les mêmes inconnues^ sont équivalents, lorsque les valeurs des inconnues qui satisfont à l'un et à l'autre sont absolument les mêmes; ou, en d'autres termes, lorsque les équations de chacun des systèmes entraînent celles de Tautre.
Lorsque deux systèmes sont équivalents, on peut les substituer l'un à l'autre.
S îh Principes.
138. Théorème I. Étant donné un systèmt dCéquatUms^ an peut substituer à fum quelconque d'entre elles Véquation obtenue en ajoutant membre à membre les équations proposées. Ainsi les systèmes
m^B=B', jB=B',
sont équivalents.
' En effet, toute solution du système [1] donne, par hypothèse, des valeurs numériques égales aux deux membres de chacune Alg. B. I" Partie. 7
^f6 LiVUE 11.
des équations de ce système : doue elle rend égaux aussi les deux membres de l'équation [a] ; donc elle vérifie le système [2]. Réciproquement, toute solution du système [2] rendant égales les valeurs numériques de B et de B', celles de G et de G', celles de D et de D', rend égales celles defl+G+D et de B'+ G'+D'; et comme elle vérifie, par hypothèse, Féquation [o], il faut qu'elle rende égales les valeurs numériques de A et de A^ Donc elle vérifie le système [1].
139. Remarques. La démonstration -préoédeito .est indépendante du flombro des équations.
On peut n'ajouter les unes aux autres qu'une partie des équations qui composent un système : l'équation résultante remplace Tune quilconque de telles qui rat servi *à la former.
On a le droite avant (Rajouter les équations membre à men^fre^ de multiplier chacune d'elles far un mombre quelconque ; car cette opération (tâS) n'altère pas les conditions qu'elles imposent aux incommes.
11 va sans dire que l'on peut, dans l'application du théorème, soustraire jnembre à membre certaines équations, au lieu de les additionner.
140. Théorâme II. Lorsque Tune des équations d'un système est résolue par rapport aune inconnue^ on peut remplacer cette inconnue par sa valeur dans les autres équations : on ramène ainsi le système à un autre ^ ayant une inconnue et une équationde moins.
Ainsi le système
dans lequel B, B', G, G', D, D' renferment toutes les inconnues d'une manière quelconque, et où A peut renfermer tontes les inconnues à l'exception de x, est équivalent au système
Bi=B'i, m
dans lequel Bt, B'i, Ct, C'n D|, D '«, sont les expressions obtenues en remplaçant x par A dans B, Ê\ G, G", D, D'.
Ed eÔet, toute solution du système [1] rendant égales, par hypothèse, les valeurs numériques de 9 et de A, il est permis de remplacer x par A dans les équations suivantes : or les résultats égaux, que l'on obtient ainsi, scmt les valeurs numériques des membres des équations du système [2]. Donc ce dernier système est vérifié par la solution du premier. Réciproquement, toute solution du système [S] rendant a; égal à A, il est permis de rem* placer A par x dans lies équatiras suivantes, ce qui ramène au système [1].
Les deux systèmes sont donc équivalents*
Cette démonstration est indépendante du nombre des équa^ tions.
141. ËLDsiNATioN. Lorsque, dans les équations B=B',C=:G'y D = D', on remplacer; par A, cette ineonnue disparaît des équa» tiens. On dit alors qu'elle est éliminée. En général, élimimr un^ inconnue entre m équations» c*est remplacer le système proposé par UQ système équivalent, dans lequel (m-*-l} éqjuations ne contiennent pas cette inconnue.
