CHAPITRE IV

RÉSOLUTION D'UN NOMBRE QUELCONQUE D'ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ENTRE UN NOMDRE EGAL DIN- C0NNUE8.

149. Oopeut, en général, déterminer les valeurs d'un nombre quelconque d'inconnues, lorsqu'on connaît entre elles un nombre égal d'équations du premier degré. Nous allons, dans ce chapitre, exposer les méthodes qui fournissent les solutionst en conunençant parle cas le plus simple, celui de deux équations à deux inconnues.

S 1. Résolution dUvtf^ système de deux équations à deux inconnues. - 143. FORBIE GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION. DU PREMIER DEGRÉ k

DEUX INCONNUES. Si Too désigne les deux inconnues par x et t/,

une équation du premier degré ne peut renfermer que trois

sortes de termes : l"" des termes du premier degré en x ; 2"* des

termes du premier degré en y; 3* des termes tout connus. Or

on peut toujours faire passer dans l'un des membres tous les

termes qui contiennent soit x, soit y, et y réunir, par l'addition

des coefficients, tous ceux qui renferment la même inconnue.

Si l'on fait de même passer dans l'autre membre tous les termes

connus, et qu'on les réunisse en un seul, l'équation prendra la

forme

ax-^by=Cf

a, 6, c désignant des nombres connus. C'est sous cette forme que nous mettrons les équations que nous aurons à résoudre.

144. l*' Cas. Il peut arriver que l'une des équations ne renferme que l'une des inconnues. Soit» par exemple, le système

L'équation [2], qui ne renferme que a;, fournit immédiatement (128) sa valeur, â;= 10. Si l'on substitue cette valeur dans l'équation [1], elle devient

Et comme elle ne contient plus alors que l'inconnue y, elle en fournit (128) aussi la valeur, y =7.

Ces deux valeurs, a? =10, y =7, vérifient évidemment le système. D'ailleurs il ne saurait çxister d'autre solution; car l'équation [2] n'admet que la solution a; = 10; et pour cette valeur, l'équation [l] n'est vérifiée que par y =7.

Ainsi, pour résoudre le système, dans ce cas particulier, 07i résout celle des équations qui ne renferme qu'une des inconnues, on substitue dans F autre équation la vcàeur trouvée pour cette inconnue, et l'on résout F équation résultante qui fournit Vautre inconnue

I4)t. 2* Cas. Les deux éqaations renferment les deux inconnues. On ramène ce cas au précédent, eu éliminant l'une des inconnues entre les deux équations (141). Oh peut employer plusieurs procédés pour opérer cette élimination.

Méthode par substitution. Soient les deux équations :

6x—by=l0. [2] ( ^*^

On peut (tI8, I2S) remplacer l'équation [1] par l'équation

qu'on obtient en faisant passer 7x dans le second membre, et en divisant ensuite les deux membres par 3 : c'est ce qu'on appelle, résoudre F équation par rapport à y. Le système (1) est ainsi remplacé par le système équivalent :

47— 7a? rn

On peut maintenant (i40) remplacer y par — ^ — dansl'équalion [2] ; et Ton obtient le système équivalent :

Et l'équation [4] ne renfermant plus que l'inconnue a?, on est

ramené au premier cas. On résout donc cette équation : elle

donne

d'où Ton tire (128), x=b. Et cette valeur, substituée dans l'équatiQn [3], donne y=k. Ces deux valeurs, â?=5, y=4, formant la solution unique du système (3)| fournissent la solution unique du système équivalent (1).

La méthode est générale, et conduit à la règle suivante : On résout Fune des équations par rapport à Vime des inconnues, et fon

102 LiVftfi n.

SUBSTITOE sa valeur dans Vautre équation. Comme cette dernière ne renferme pltu alors que F autre inconnue, on la résout, et on obtient la valeur de cette inconnue. Puis on substitue cette valeur dans Vexpression de la première ineonnue, opération qui fournit la valeur de eeHe-ci.