MÉTHODE PAR ADDITION BT SOUSTRACTION. Reprenons le

système :

On peut toujours rendre égaux les coefficients d'une même inconnue dans les deux équations; il suffit, pour cela, de multiplier les deux membres de chacune par le coefficient dont cette inconnue est affectée dans l'autre. Ainsi, en multipliant la première équation par 5 et la seconde par 3| on obtient (128) le système équivalent :

Les' deux coefficients de y étant alors égaux et de signes contraires, on éliminera cette inconnue en ajoutant les deux équations. On obtiendra ainsi une équation

qui, combinée avec Tune des équations (2) ou avec Tune des équations (1), formera un système (3) équivalent au premier.

On sera ainsi ramené au premier cas (144). On tirera de [5] x=^ 5 ; et substituant cette valeur dans Tune des équations, dans l'équation [1], par exemple, on obtiendra la valeur, y=k.

La méthode est générale, et conduit à la règle suivante : On multiplie chacune des équations par le coefficient dont tune des in-connues est affectée dans Vautre; on ajoute alors Vune àVautre, ou Von RETRANCHE Vunc de Vautre les deux équations résultantes^ suivant que les coefficients égaux de Vinconnue considérée sont de signes contraires ou de mime signe. On obtient ainsi une équation à une inconnue, qui fournit la valeur de cette inconnue. En substituant cette valeur dans Vune des équations proposées^ on en tire la valeur de Vautre iticonnue.

iKT. REttARQufi. Si leâ eocfOdentsque reniât rendre égaux

ne sent pas premiers entre eux, on peut prendre pour coefficient commun leur plus petit multiple commun : il sufCt, pour cela, d6 diviser ce plus petit multiple par chacun des coefficients de l'inconnue à élimineri et de multiplier chaque équation par le quotient correspondant. Soit, par exemple^ le système

5te-llî/ = 377.J ^^

Le plus petit multiple commun à 36 et à 54 est 108 : les quotients de 108 par 36 et 54 eont 3 et 2. On multiplie donc la première équation par 3» et la seconde par 2; et Ton a \% système ôquiraient :

108i + 2ly=960, j rj,

comme le» coefficients de x ont le même signe, on retanche la seconde ôquft* tion de la première ; ce qui donne ;

43y=321â; d'oA y =5; tt» par auitet, xs=8.

148. Autre remarque. Lorsque l'on a trouy^ par la méthode précédente, la yaleur d'une des inconnues, on peut chercher djrectement la valeur de f autre inconnue pepr la même méthode, au lieu de la déduire d'une substitution.

Ainsi, dans l'exemple précédent, pour obtenir x, on multipliera la première équation par 11 et la seconde par 7 ; ce qui donnera:

et, en ajoutant les deux résultats, on trouvera,

d'où l'on tirera : x^S.

nette valeur de x ne peut différer de celle qu'a fournie la substitution : car, d'après les raisonnements précédents, le système [1] est équivalent à l'un quelconque des deux systèmes,

P] |36j?+7y=323, |3ar+7y=323; W

or chacun de ces derniers ne fournit qu'une solution ; il est donc nécessaire que cdte sohuion soit la même pour ces deui systèmes.

149. Corollaire. On voit qu'en général un système de deur équations du premier degré à deux inconnues admet une solution unique et déterminée.

$ II. Résolution d'un système de trois équations à trois inconnues.

180. RÈGLE. Pour résoudre un système (l) de trois équations à trois inconnues x, y, z, on élimine Vune des inconnues^ z parexempUj d'abord entre deux des trois équations, puis entre la dernière et Vune des deux autres : on emploie, pour cela, soit la méthode par substitution (i4tt), soit la méthode par addition et soustraction (146). On obtient ainsi deux équations à deux inconnues x et y, qui combinées avec Vune des équations proposées, forment un système (2) équivalent au premier : les raisonnements, pour le prouver, sont ceux que nous avons employés dans le paragraphe précédent. On résout le système des deux équations enxetj;et substi-tuant les valeurs trouvées pour ces inconnues dans Vune des équations proposées, on obtient la valeur de z.