Exemple I. Soit d'abord à résoudre le système

3a; + 2y + 4Jï = 19, 2x + 5y + 3;f=21, 3«— y+ *= 4.

Pour appliquer la méthode précédente, nous devons, par exemple, déduire de l'une des équations la valeur d'une inconnue, et la substituer dans les deux autres. Comme on peut choisir l'une quelconque des trois inconnues, et la déduire de Tune quelconque des trois équations, il y a neuf manières de commencer le calcul ; on voit que la plus simple, dans l'exemple proposé, consiste à prendre la valeur de y dans la troisième équation, parce que l'on n'introduit pas ainsi de dénominateur. On obtient :

y = 3aî + jjr— 4i

et, par subttitution de cette expression, les deux premières équations deviennent :

3« + 2(3a; + jr-4) + 4;r=19, 2a + 5(3« + jjp— 4) + 3x = 2l;

ou, en réduisant, ) 8* + 6Jf=27,

Ces équations, résolues par les méthodes exposées (145, 140}, donnent

«=I, ar=3.

Puis ces valeurs, substituées dans l'expression de y^

y=3af + j»— 4,

donnent y^2;

et la solation cherchée est, par conséquent|

n. Soit encore à résoudre le système d'équations :

a*+a*x+ay 4-5=0, 6» + b»x + by -f;j=0, c=» -f c*« + cy +jï=0;

nous appliquerons la seconde méthode (140). Comme a n*a pas de coefficient, Doos retrancherons successivement la première équation de chacune des deux autres; et nous obtiendrons les deux équations nouvelles, indépendantes de z.

15s— o«-|.(tï — a»)x + (d — a)y=0, I c* — o* + (c»— oV+ (c — a) y=0.

Or la première de ces équations est divisible par {h — a), la seconde par (c — a] ; si Ton supprime ces facteurs, elles deviennent :

} c^ 4- ac + a^ + (c H- a) » + y = 0 .

Peur les résoudre, on peut procéder de la même manière, et soustraire la première de la seconde ; on obtient ainsi :

ou, en divisant par [e — b),

De là on tire: »= — a^b — c,

et, par suite,

y=— b»— ab— a*— (b-f a)x=ab4-ac+bc

Enfin ces valeurs de x et y, substituées dans l'expression

;r = — o»— o»x — ay, donnent

$ ni. Résolution d'un nombre .quelconque d'équations du premier degré.

158. RÈGLE GÉNÉRALE. Pour résoudre un nombre quelconque (f équations renfermant un nombre égal d'inconnues^ on peut déduire de Vune d'elles la valeur d'une inconnue, et substituer (140) cette taleur dans toutes les autres : celles-ci contiennent alors une inconnue de moins; et, en complétant leur système par F équation qui fournit V expression de la première inconnue, on obtient un système équivalent au système proposé.

On peut aussi éliminer l'inconnue entre Vune des équations et toutes les autres, par laméthode d'addition et de soustraction (146) :

on obtient encore un système équivaknt (t«(8), enjoignant à Ven-sembh des éqiuitions nouvelles Véquaiion dont on s^est servi pour faire disparaître cette inconnue.

Dans tous les cas, la résolution cTun système de n équations à n inconnues est ramenée ainsi à la résolution de (n — 1) équations à C:i — 1) inconnues. La résolution de ces dernières se ramènera de même à celle de (n — 2) équations à (n — 2) inconnues; et, en continuant ainsi, on sera conduit à une équation ne contenant qu'une inconnue.

Le système équivalent au système proposé renfurmwa alors n équations, ainsi composées : la dernière ne renfermera qu\ne incAinnue, la (n — !)"• renfermerez cette inconnue et une autre, la (a — 2)"^ contiendra ces deux inconnues et une troisième....; enfin la première contiendra toutes les inconnues^ Et U est évident quon pourra résoudre successivement toutes ces équations en commençant par la dernière et en remontant jusqu'à la première, et qu*on obtiendra ainsi les valeurs de toutes Us inconnues.