Pourquoi l'on doit compter, en sens coNTRAms du sbns

CONVENU, LES VALEURS NEGATIVES DES DISTANCES. SuppOSOnS

QMdiiteDaiit que, x désignant la drstânce à porter sur une ligne, k partir d'un point donné 0, et dans une certaine direction, à droite par exemple, on ait trouvé, pour équation d'un problème^

B+Aa?=B'+A'a?. [1]

Si, au lieu de chercher la distance du point inconnu à l'origine d(mnée 0, on aTait cherché sa distancer^ aune origine 0', située à gauche de la première, à une distance d, on aurait eu :

a?, = d-|-x, ou ir=a?4 — d;

et, par suite, au lieu de l'équation [1], on aurait eu, pour équation du problème :

Supposons que cette équation fournisse pour Xi une valeur positive, mais moindre que d, que je représente par (d— «) ; pour avoir la position X du point cherché, il faudra d'abord porter la distance d de 0' en 0, puis porter en sens contraire la distance a de 0 eu X. Le point cherché sera donc à gauche du point 0, et à une distance « de cette origine» Or, en substituant à â?i, dans l'équatiou [3], sa Yalenr (d — «), on a :

d'où il résulte, que l'équation [1] a pour solution : x= — «.

Une soltUion négative x=— a, trouvée pour VéquaXion [1], «gnifi^ doncy que le point cherché est situé à gauche du point 0, et à une distance a de cette origine.

185. Rebiarque. Nous remarquerons, comme au n* 185, que le raisonnement précédent n'est pas tout à fait général ; il suppose que l'équation [2], qn! est construite pom: tes points situés à droite du point O, puisqu'on Ta déduite de l'équation [1], s'applique aussi aux points sitoés à gauche. Or cela n'a pas ton» jours lieu ; et nous en donnerons un exemple.

186. Problêmb X IT. Un chemin de fer prend 0' , 10, par tonne et par kilomètre, pour le transport des mturchandîHS ; on paye, en outre, tan droit fixe de^'^lb par wagon de 2000 kilogrammes. A quelle distance peut^on transporter 50 tonnes pour 3 fr. ?

Soit s ia distance cherchée.

50 tonnes correspondent à 25 wagons; le droit fixe à payer est doae d»

a,ttX25.

En outre, pour le transport à la distance x, le droit proportionnel est

0, lOXSOXff.

L'équation du problème est donc :

Bt, en la résolvant, on trouve : «=—18,15.

Discussion. Cette valeur négative ne signifie ici absolument rien. Car les prix du transport de 50 tonnes, à 18^,15, à droite ou à gaïuhe du point de départ» sont exactement les mêmes; par suiie, si le point cberché se trouvait à gauche, à 18^, 15, comme semble Tindiquer la solution négative, il y en aurait un autre, situé à droite, à la même distance ; et Téquation, qui est construite pour ce cas, fournirait la solution x^+ 18,15. On reconnaît, d'ailleurs, à priori, que le problème est impossible ; car le droit fixe, étant 3', 75X25, est supérieur au prix total que Ton devrait payer^ pour ce droit et pour le transport.

On peut s'assurer que, dans ce cas, le raisonnement du n* 184 est en défaut. En eflet, supposons que, les 50 tonnes devant être portées vers la droite, on prenne pour origine un point 0 situé à une distance d, à gauche du point de départ; la distance Xi du point cherché à cette origine sera (s + d); et Ton aura a;=ffi— d. L'équation du problème deviendra donc :

Si cette équation (qui est construite pour les points situés à droite du point de départ, puisqu'on l'a déduite de l'équation [1]) était applicable aux points situés à gauche, le raisonnement (184) pourrait être continué, et ime valeur de X|, positive, mais moindre que d, correspondrait effectivement à un point situé à gauche. Mais l'équation [2] ne convient nullement au cas du transport effectué vers la 'gauche. Dans ce cas, en effet, le chemin parcouru doit être représenté par d — Xi] et il faut prendre, pour équation du problème, l'équation

qui diffère de l'équation [2].

S IV. Introduction des nombres négatifs dans l'énoncé d'un problème.

187. Avantages de cette introduction. Il est quelquefois avantageux d'introduire des nombres négatifs dans les données mêmes d'une question. Pour montrer comment on peut y être conduit, et de quelle nature est l'avantage qu'on y trouve, nous reprendrons le problème du n* 178.

Deux mobiles M et M', suivent la droite AA', en marchant dans U même sens kk' : M part de A avec la vitesse v, en même temps que M' part de A' avec la vitesse v'. Après combien de temps se rencontrent-ils?

En nommant x le temps inconnu, et d Isi distance A A', on a trouvé l'équation

ex — vx= d.

On a TUy qae cette équation fournit la solution du problème, lors même que v est moindre que v', pourvu que Ton regarde la valeur négative de s comme représentant un temps déjà écoulé.

Hour généraliser encore davantage, supposons que les deux mobiles ne mai^ chent pas tous deux dans la direction AA' : on peut considérer trois cas distincts.

1* Le mobile M marche vers la droite, et le mobile M' vers la gauche;

ils se rencontrent entre A et A', après avoir parcouru, Tun vx et l'autre ffx; et par conséquent l'équation du problème est :

ta+tj'ap=rd.

2* M marche vers la gauche, M' vers la droite;

Les mobiles ne se rencontreront jamais; mais en nommant x le temps écoulé depuis leur rencontre entre A et A', ils auront parcouru, Tun vx et l'autre v'x, quand ils seront arrivés, Tun en A et Tautre en A'. On aura donc :

vx-{-f/x=d. 3* Enfin, si Ton suppose que les mobiles marchent tous deux vers la gauche,

la rencontre aura lieu à gauche de A; et l'équation du problème sera» dans ce

cas: v'x-'vx^szd.

Les équations relatives aux quatre cas sont donc, en résumé :

f^^tfx-=zd, quand M et M' marchent vers la droite;

va-{'ffx=d, quand M marche vers la droite, M' vers la gauche ;

vs+v'x=d, quand M marche vers la gauche, M' vers la droite; s désigne alors un temps déjà écoulé;

v'x^vx=idy quand M et M' marchent vers la gauche.

Or, ces quatre équations peuvent se réduire à une seule, ce qui est évidemment un avantage, si l'on convient de représenter par des nombres négatifs (— v) , (— v')les vitesses dirigées ver3 la gauche. D'après cette convention, il faut, en effet, remplacer dans la seconde des équations ci-dessus, i/ par ( — v') ; dans la troisième, v par (— »); dans la quatrième, v par (— v), w' par (— cQ. De plus, dans la troisième, où l'inconnue désigne un temps écoulé, il faut remplacer x par (— flp).

Les équations deviennent toutes, par ces substitutions :

vx^v'x=zd;

en sorte que la formule, s =•

que l'on en déduit^ convient à tous les cas.

Ainsi, T avantage que F on retire de Fintroduction des nombres nè^ gatifs dans les données d'une question^ est de réduire à une seule les équations qui correspondent aux différents cas du problème^ ety par suite^ de riavoir à considérer qu'une seule formule pour les résoudre.

$ V. Des solutions négatives des problèmes du premier degré

à deux inconnues.

188. Nous n'avons considéré Jusqu'à présent, que les solutions négatives fournies par une équation à une inconnue. Le cas de plusieurs équations donne lieu à des remarques entièrement semblables. Supposons qu'en résolvant le système :

ax + by = G,\ a'x+b'y=z(f,i *■ •*

on ait trouvé, pour Tune des inconnues, ou pour toutes les deux, des valeurs négatives. Soient, par exemple, a?=a, y=— p. Ces valeurs satisfaisant aux équations [1], on aura les égalités :

am — b^ = e,

et par conséquent, les valeurs â?=a, i/=p, satisfont au système :

ax--by==c,\ p.

Ainsi, en prenant positivement la solution négative y= — p, on satisfait à un système qui diffère du proposé par le changement de signe des termes en y. On verrait de même que, si la valeur de x était négative, on pourrait la prendre avec le signe -f , pourvu qu'on changeât, dans les équations proposées, les signes de tous les termes çn x.

Thiîorème. En général^ lorsqu'en résolvant un système d^équa- Hons, on trouve pour quelques-unes des inconnues des valeurs négatives, on peut prendre toutes les valeurs des inconnues avec U

signe + ; elles sont alors les soliUions (Tun nouveau système^ lequel

ne diffère du système proposé^ que par le changement de signe des

termes qui contiennent les inconnues dont les valeurs sont négatives^

189. Reharque. Les équations nouvelles^ auxquelles satisfont les valeurs négatives des inconnues prises positivement, correspondent quelquefois à un problème peu différent du proposé, ou à ce problème lui-même,, enteïidu dans un sens plus gt^néral. On obtient alors la solution du piT)bIème modifié ou généralisé, en prenant, avec le signe +, les valeurs négatives trouvées pour les inconnues. Mais cette remarque, comme dans le cas des équati\>ns à une inconnue, ne peut être développée que sur des questions particulières.

Considérons, par exemple, le problème suivant. *

!••• PBOBLftxB XIII. Un fiservoiTf de capacité y, ut rmnpliy dcf» un temps ty par D robineiSy versant chacun la même quantité dTeav, et par la pluie tcmbie uniformément sur un toit dont la surface est s. Un autre réservoirf de capacité y*, est rempli, dans le temps l'y par n' robinets semblables aux précédents, et par la pluie tombant uniformément sur un toit € atec la m^me tntenf itë gti^ sur le toit s. Déduire de ces données la quantité d'eau, z , tersée par chaque robinet dans Vumié de temps^ et la quantité y versée pair la pluie, pendant chaque unité de temps, sur chaque unité de surface de toit.

Puisqu'im robinet verse^ dans TuDlté de temps, une quantité d'eau égale ïx,n robinets, dans le temps t, Terseront nxt,

La pluie Teisant^ dans l'unité de temps, une quantité d'eau é^Ie à y, sur Fonitéde surface, Tersera^ dans le temps I, sur la snrlue s, «ne quantité d'eau stft ; on aura donc Téquation :

nit + syt=zv. [1]

£n eiprimant que le second réservoir est rempli dans le temps f, on aura de

même Téquation :

n'xt^+^yf=if; [2]

et les équations [1] et [2] permettront de calculer x et y.

Supposons maintenant, qu'en les résolyant, on trouve pour x une valeur pofitrre a, et pour y une valeur négative— p. H faudra en conclure (!••), que les valeoTs s=a,y =p satisfont aux équations :

fixf — syt =«, n'xt^ — ïyt'=v'.

Ces équations correspondent à un problème qui diffère du proposé , en ce que la pluie, qui remplit les réservoirs, doit être remplacée par une cause qui leur" enlève une quantité d'eau prc^rtionnelle au temps et à la surface } par exemple^ par Tévaporation du liquide.

Si^ au contraire, on trouvait pour s une valeur négative , cette valeur , prise positivement, satisferait aux équations :

J'y**— fi'ar<'= if.

Ces équations correspondent à un problème qui diffère du proposé, en ce que les robinets qui versent de l'eau daos les réservoirs , doivent être remplacés par un nombre égal de causes qui en enlèvent ; par exemple, par des orifices ou par des pompes, enlevant une quantité x d'eau par unité de temps.

191. Remarques. Les remarques faites (189, 184), au sujet des valeurs négatives trouvées pour un temps ou pour une longueur, s'appliquent sans modification au cas où les équations contiennent plus d'une inconnue.

Ajoutons qu'il y a d'autres grandeurs que les longueurs et les temps, qui peuvent être aussi comptées en deux sens opposés. Ainsi, les températures au-dessus ou au-dessous de zéro, les latitudes (géographiques ou célestes) boréales ou australes, les forces attractives ou répulsives, l'actif ou le passif d'un négociant, sont des grandeurs susceptibles d'être représentées par des nombres positifs ou négatifs.

Remarquons enfin, en terminant, qu'il n'est pas nécessaire d'introduire les nombres négatifs dans l'énoncé des problèmes ; on est libre de faire ou de ne pas faire ces conventions. Mais si Von veut généraliser les formules^ c'est-à-dire si l'on veut qu^une seule et unique formule représente la solution (Tun problème dans tous les cas y ces conventions sont obligatoires; il faut représenter un changement de sens par un changement de signe.

§ VI. Des solutions infinies ou indéterminées.

102. Des solutions dites infinies. Lorsque la formule, qui fournit la solution générale d'un problème, se présente sous la forme fractionnaire, il peut arriver que certaines hypothèses, faites sur les lettres qu'elle renferme, annulent son dénominateur, sans annuler son numérateur. Cette formule prend alors la

* forme 9=q- Nous verrons, dans la discussion générale des formules (chap. vn), que l'équation qui l'a fournie est alors impossible. Mais il n'en est pas toujours ainsi du problème qui y a conduit ; on peut seulement affirmer que la quantité, prise pour inconnue, cesse alors d'exister.

Prenons pour exemple la question suivante :

Problème XIY. Deux eercles, de rayons R et r, non intérieurs Vun à Vautre j sont situe's dans un même plan; la distance de leurs centres est d. On demande le point où la tangente commune extérieure rencontre la droite qui joint les centres.

Désignons par x la distance qui sépare le point cherché du centre du plus petit cercle. Si Ton joint chaque centre au point de contact correspondant, on forme deux triangles semblables, qui donnent immédiatement la proportion :

' =-; d'où «== . [2]

DiscnssiOH. Tant que r reste plus petit que R, la valeur de x est positive, et la formule permet de construire le point cherché. Si la valeur de r se rapproche de celle de R, celle de x augmente^ puisque son numérateur croit, et que son dénominateur diminue ; le point s'éloigne donc sur la ligne des centres. Comme on peut rendre la différence (R — r] assez petite, pour que la fraction [2] soit ausâ grande que Ton voudra, les rayons des cercles peuvent différer assez peu, pour que le point soit aussi éloigné que Ton voudra. Enfin lorsque, à la limite, r=R, la fraction est devenue plus grande que toute grandeur assignable. Le point de rencontre s'éloigne donc indéfiniment^ et les deux droites, ne se rencontrara p/ui, sont parallèles. On voit que, dans ce cas, Téquation |1] pr'^nd la

forma impossible : = 1 , et que la formule prend la forme singulière :

dr «=:— ; il n*y a plus alors ni équation ni formule, et le point de rencontre

n'existe plus; mais c'est précisément dans ce résultat que consiste la solution du problème.

i94. Remarque. Lorsque le dénominateur d'une fraction diminue, la fraction augmente ; et elle peut augmenter indéfiniment, si le dénominateur diminue indéfiniment. D'après cela, on dit quelquefois que, le dénominateur devenant nul, la fraction devient infinie; et Ton écrit qu'elle a pour solution a? := oo . C'est là une locution incorrecte ; la fraction dont le dénominateur est nul ne représente rien. Si les données d'un problème varient de telle manière, que le dénominateur de la valeur de l'inconnue tende vers zéro, l'inconnue elle-même augmente sans limites^ mais, lorsque le dénominateur est actuellement nul, la solution n'existe pas, et l'équation est impossible.

i9S. Des solutions indéterminées. Lorsque la formule, qui donne la solution d'un problème, se présente sous la forme fractionnaire, il arrive parfois encore, que certaines hypothèses particulières, faites sur les lettres qu'elle renferme, annulent à la fois son niimérateur et son dénominateur. Cette formule prend

alors la forme (c=-. Nous verrons plus loin (chap. vn), que le

système qui Ta fournie est alors, en général, indéterminé; ce* pendant cette indétermination peut n'être qu'apparente. Donnons des exemples de ces deux cas.

\, Problème XY. On a deux lingots; le premier contient a grammet d'or et b grammes émargent; le second contient a' grammes d^or eth' grammes d^argent. Quel poids de chacun de ces lingots faut-il prendre pour en former un iroisième, contenant a grammes d'or et p grammes d^ argent?

Soient x et y les poids à prendre dans le premier et dans le second lingot.

Puisque le poids a-i-b contient a grammes d*or et h grammes d'argent, le

poids «, extrait du même lingot, contiendra . en or, en argent.

De môme, le poids y, extrait du second lingot qui pèse a'+b', contiendra a'y Vy

On aura donc les deux équations:

Qg . g'y \

bx . j:y__a , ^''

Si Ton résout ce système, on trouve :

(a + b)(«y~poO (g'-fbOfqg-ba)

*•— ab'—ba' ' ^ ~' ob' — ùa'

Discussion. Si Ton fait Thypothèse, 2=rr=ôt les numérateurs et les déno* minateurs des deux formules sont nuls; de sorte qu'on a :

Pour interpréter ce résultat, rsmarqucms que Thypothèse admise a pour consé-

quencâs :

et que, ai Ton rtmftlice dans l«fi équations [1] les coefficients des isoonnues par

leurs valeurs " a, — v-â, tirées des relations [2], les équations se réduisent

toutes deux i l^quation unique :

Il en résulte (ittS), que le système [I] tst indéterminé. Uais le problème luimême eet indéterminé f et admet une infinité de solutions. En effet, Thypothès» admife exprime, que le rapport de Tor à Targent est le même dans les trois

lingots; donc, quelles que soient les quantités que Ton prenne dans chacun des deux premiers, elles formeront évidemment un alliage au même titre. Ces quan* tités ne seront astreintes qu'à yérifier Téquation [3].

ikW9. pBosLÉja XVI. Calwler la surface dCun trapèze dont on <2onne Us bases B et h, et la hauteur h^enla considérant comme la différence des surfaces des deux triangles que Von obtient, en prolongeant les deux côtés non parallèles jtuqu*à leur rencontre.

Désignons par x l'aire ciierchée; et prenons pour inconnues mxiliaires les hauteurs y et jï des deux triangles. Les surfaces de ces triangles ayant pour expressions 4 By et l bs, on a d'abord Téquation :

x = i{BybM). [1]

Comme les deux triangles sont semblables^ les bases sont proportionnelles aux haatears*, donc

Enfin^ la hauteur h étant la différence des hauteurs y et y, on a :

Pour éliminer tes inconnues auxiliaires, on remarque que l'équation [2] donne :

d'où^ en Tertu de l'équation [3] :

Bh bh

En substituant ces valeurs dans l'équation [1], on obtient enfin :

Discussioif . Tant que b n'est pas égal à B, cette formule donne, pour la surface du trapèze, une valeur parfaitement déterminée. Mais si Ton suppose b = B, la

foimuie se préfleate sous la'formedp=-r; et le problème parait iodéterminé. Cependant cette indétermination n^est qu^ apparente ; car, dans ce cas, le trapèze devient un parallélogramme, dont la surface est égale à Bh. On peut, d'ailleurs, tirer de la fraction cette expression de la surface, si l'on Oaarque que le facteur (B^b) divise {B^—V), et qu'en supprimant ce facteur commun, il vient :

formule connue de l'aire du trapèze, laquelle devient effectivement, x = Bhf dans le cas où b = B.

198. Remarque. On ?oit que, lorsqu'on rencontre une formule, qui, par suite d'hypothèses particulières, prend la forme

rr« il ne (aut pas se h&ter d'affirmer que le problème, dont elle

donne la solution, est alors indéterminé. Il peut arriver que l'indétermination ne soit qu'apparente, et qu'elle tienne, comme dans l'exemple précédent, à la présence d*un facteur commun aux deux termes, facteur qui devient nul en vertu des hypothèses admises. On doU alors, avant toute hypothèse, supprimer ce facteur commun, et faire ensuite, dans la formule ainsi simplifiée, les hypothèses convenues : on obtiendra la vraie valeur de la fraction, pour ce cas particulier.

Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé comme solution d'un problème :

et que la discussion amène à faire Thypothèse , a = 1. Les deux termes s'annulent, et la fraction prend la forme -. Or, les deux termes étant des polynômes

entiers en a, on sait (VS) qu'ils sont divisibles par (a — 1). On effectuera donc cette division, et l'on trouvera la formule simplifiée :

ff =

formule qui, pour a= 1 , prend la valeur x = £.

EXERCICES

L Deux vases, de capacités v et t/, contiennent chacun un mélange d'eau et de vin, dans le rapport de m à n pour le premier, et daxis le rapport de m' i n' pour le second. Quelle capacité s doit-on donner à deux autres vases égaux entre eux, pour que, les remplissant à la fois, l'un dans le premier, l'autre dans le second, et versant dans chacun d'eux ce qui a été pris dans l'autre, la proportion de l'eau au vin devienne la même dans les deux vases T Montrer, à priori , que le résultat doit être indépendant de m, n, m', n'.

On trouve l'équation :

fn(t?— gg) m'x n (r— g) n'x m + n m' + n' m -h n m' + n'

in'iv'—x) , mx n'iv'-^x) nx +jrT-Z -ZTTZT +

et la formule

II. Les aiguilles des heures, des minutes et des secondes sont toutes trois sur le chiffre XII du cadran. On demande après combien de temps l'aiguille des secondes divisera en deux parties égales l'angle formé par les deux autres.

En désignant par x le nombre de secondes écoulées, on trouve :

III. Trois mobiles parcourent une même ligne droite, d'un mouvement uniforme, avec des vitesses v, o', v*. Ils sont actuellement à des distances a, a' , a** d*un point 0 de cette droite, dont ils s'éloignent tous les trois. On demande après combien de temps le premier sera aux { de la distance qui sépare lesdeuz autres.

Eo désignant par s le temps écoulé, on trouve :

si, après ce temps, le troisième mobile est en avant du second; et, au contraire, ^^————^

si, après ce temps, le second mobile est en avant du troisième.

Il peut y avoir deux solutions, ou une seuie; li peut ne pas y en avoir du tout : on examinera les conditions de ces difTérents cas.

On généralisera la solution, en supposant que les mobiles ne marcbent pai tous dans le même sens.

IV. Un parallélipipède rectangle^ dont les arêtes sont a, b, c, étant donné, trouver le côté x d'un cube, tel que les surfaces des deux solides soient dans le même rapport que leurs volumes .

2ahc

On trouve: «=

a6 + oc + be'

V. Thraver une proportion, dont les quatre termes surpassent également les quatre nombres <i,b,e, d.

En désignant par x le nombre qu'il faut ajouter & chacun de ceux-ci, on trouve •

bc — ad *— o+d— «>— C

Discuter la solution, 1* lorsque bc =ad, 2* lorsque a'{'d=:zb-]'C.

YI. fi pierres sont rangées en ligne droite à d mètres de distance les unes des autres. On propose de déterminer, sur cette droite, la position d'un point X, tel qu'il y ait deux fois plus de chemin à faire pour transporter successivement chaque pierre au point X, que pour les transporter & la place occupée par la première d'entre elles. On supposera, dans les deux cas, que l'on parte de cette première pierre.

Si l'on désigne par x la distance du point X à la première pierre, en suppo- Mnt ce point au delà de la dernière, on trouve :

On généralisera, en supposant que le rapport des chemins à parcourir est m

au lieu de 2 ; on trouvera :

et Ton discotera les conditions de possibilité da problèmeu Si la solutioa est négative, est-il possible de l'interpréter?

VII. Il faut un nombre d'hommes égal à a, ou un nombre de femmes égal à hf pour faire, en n jours^ un ouvrage représenté par m. Combien faut-il adjoindre de femmes à (a— p) hommes, pour faire, en (n— p) jours, un ouvrage

représenté par (m -fp)?

hp\ ^ , (m-|-n)ai

VIII. Deux horloges A et Bsonneat Pheure en mémetemps^ el ron entend en tout dix-neuf coups. Déduire de là Theure qu'elles marquaient, sachant que l'horloge A retarde sur l'horloge B de deux secondes, et que les coupe de A se succèdent à trois secondes d'intervalle, tandis que ceux de B se suivent à quatre secondes d'intervalle. On admet enfin, que l'oreille ne perçoit qu'un seul son, lorsque les horloges sonnent dans la même seconde.

En désignant par x l'heure ou le nombre de coups sonnés par chaque horloge, on remarque que le nombre des coups perdus pour l'oreille est 1, aog-

mente du plus grand nombre entier contenu dans — ~ — ; et l'on en conclut

que x = ll.

IX. Trouver trois nombres Xj y, ;r, en progression arithmétique, tela que le premier soit au troisième comme 5 est à 9, et que la somme des trois nombres soit égale à 63.

On trouve : x=15, y =21, «=27.