X. On donne la suite

et Ton propose de trouver deux nombres x et y, tels que chaque terme de cette suite puisse s'obtenir en multipliant le précédent par x, et l'antéprécédent par y, et en ajoutant les résultats.

On forme le troisième et le quatrième terme d'après cette loi^ et l'on tJKMive :

«=p+9» y=—pq\

puis Ton prouve qu*en effet ces multiplicateurs donnent tous les termes de la série. ^

XI On donne la suite :

a-^h + c.ap + bq-i-cr, ap» + bq» + cï«, ap» -f- bç» + cr».^. ;

et Ton demande de trouver trois nombres s, y, jr, tels que ckaqw terme de cette suite s'obtienne en multipliant le précédeat par jp, l'tttéprécéiBHt par y, et celui qui précède de trois rangs par x, et en ajoutant les résultats.

On trouve: «=p + ç-|-r, y=r— pg— pr — çr, t=ipqr.

in. Un train T, dont la vitesse est v, part après un autre train T', dont la Titesse est ^\ et le retard est calculé de manière qu'ils arrivent en même temps à la destination. Le train T' est obligé de ralentir de moitié sa vitesse, après avoir fait les deux tiers de la course: et il y a rencontre des trains, a lieues avant la fin du voyage. Trouver la longueur totale x du trajet.

On trouve : «= 6a— 3a — .

un. Pour faire un certain ouvrage, A emploie m fois autant de temps queB et C réunis^ B enq^loie n fois autant de temps que A et C; G emploie p fois aatant de temps que A et B. Trouver une relation entre m, n etp.

XIY. OndomMdes points A, 6, C, D,... situés sur une ligne droite, à des distances a, 5, c, d.... d'un point 0 de cette droite. Trouver, sur cette droite, un point X tel, que sa distance s à un point quelconque M de la droite donnée soit la moyenne des distances des points A, B, C, D,.... au point H. Montrer, qu'à Taide de conventions convenables, on peut résoudre le problème par une seule formule, quelles que soient les positions des points A, B, C, D,.... à droite ou à gaudie de 0.

La formule est : «= ,

n étaut le nombre des points considérés : elle est indépendante de la position du point M.

XV. Deux triangles rectangles ont les côtés de l'angle droit dirigés suivant les mêmes droites, et représentés par a, b pour le premier, et par a', V pour le second. On propose d^abaisser du point de rencontre des hypoténuses des perpendiculaires sur les côtés, de calculer leurs longueurs, et de discuter les différents cas qui peuvent se présenter.

Les formules sont, en désignant par s la parallèle aux côtés a, a', et par y la parallèle aux côtés &, b' :

oa^(b'— b) by(o— gQ

*— oy — bo" **" ab' — ba''