DES INÉGALITÉS
S I. Principes sur les inégalités considérées isolément.
199. DÉFINITION. On dit qu'un nombre a est plus grand qu'an nombre b, quels que soient leurs signes, lorsque la différence (a — b) est positive.
200. Corollaire : l"" Un nombre positif quelconque est plus grand qu'un nombre négatif quelconque. Ainsi :
caria différence 1— (— 8) est (20) égale à 1 -f-8 : elle est positive.
2* Un nombre négatif est d'autant plus grand que sa valeur absolue est plus petite. Ainsi :
car la différence *- 7 — (— 20) est (20) égale à + 20 — 7 : elle est positive.
3* On doit regarder zéro comme plus grand que tout nombre négatif. Ainsi:
car la différence 0— (— 4) est (20) égale à 0+4; elle est positive.
De là résulte que, si Ton écrit les nombres tant positifs que négatifs de la manière suivante :
un nombre quelconque, pris dans cette suite, est plus grand que tout nombre placé à sa gauche, et plus petit que tout nombre placé à sa droite.
On exprime ordinairement qu'un nombre a est positif, el qu'un nombre 6 est négatif, par les formules : a>0, 6<;o.
201. Inégalités renfermant une inconnue. Lorsqu'une expression, qui dépend d'un nombre inconnu, doit être plus grande ou plus petite qu'une autre, cette condition, que l'on nomme
intçalui, permet» en général, d'assigner des limites, entre lesquelles rinconnue doit être ou n'être pas comprise. Nous en donnerons dans ce chapitre quelques exemples.
Wi. Principe I. On peut, sans altérer Us conditions qu^exprime une inigalité^ augmenter ou diminuer ses deux membres d^un même nombre. En ef&t, l'inégalité a>b, est équivalente, par définition, à a — fr> 0. Or quel que soit m, on a :
donc: («+•»*) — (6+m)>0,
ou, d'après la définition :
Il résulle de là, qu'on peut faire passer un terme d'un membre (tune inégalité dans Vautre^ en changeant son signe, comme s'il s'agissait d'une équation.
205. Principe II. On petit multiplier les deux membres d*une inégaliU par un mime nombre^ pourvu qu'U soit positif.
En effet, l'inégalité a>& équivaut à a— 6 >0. Or, si l'on multiplie (a — b) par un facteur positif m, le produit est positif.
Donc on a: (a — 6)m>0, ou am — 6m>0,
ou, d'après la définition :
am>bm, [5]
On peut aussi multiplier les deux men^res de Vinégalité par un
faOeur négatif, mais U faut changer le sens de Finégalité. Car si
Ton a :
a>&, ou a— 6>0,
le produit de (a— 6} par un facteur négatif m sera négatif. On aura donc :
(a— 6)m<0, ou am — 6m<0,
on, enfin :
am<.bm. [6]
Ces principes permettent de chasser les dénominateurs d'une inégalité, comme s'il s'agissait d'une éauation , quand on conud It Alo. B. V* Partie. 10
le signe du multiplicateur. Les mêmes principes s'appliquent à la division des deux membres d'une inégalité par m; car la dlTi-
sion par m revient à la multiplication par — , et les deux nombres m et — sont toujours de même signe.
204. Principe III. Lorsquelesderjucmembresd^uneinigalUisant positifs f on peut ks élever à une même puissance m"^, quel que soit m. En effet, plus un nombre est grand, plus sa puissance m"* est grande. Ainsi, 7>3 donne 7*>3*.
Lorsque les membres ne sont pas tous deux positifs » il faut distinguer plusieurs cas.
1* Quels que soient les signes des deux membres^ onpetu les élever à une mime puissance m"^, lorsque m est impair. Car les deux membres, après l'opération, conservent leurs signes, et par suite, le sens de leur inégalité. Par exemple,
si 7>— 13, on en conclut ?•>(— 13)'; l r^-.
si -7>— 13. . (7)»>(— 13)»- J ^^J
2* Mais si Ton a à élever les deux membres d'une inégalité à une même puissance de degré pair^ il faut distinguer encore.
Quand les deux membres sont négatifs, rinigalité change de sens;
car les deux membres deviennent positifs, après l'opération.
Ainsi , de Tinégalitë
on conclut successivement :
et, par suite, (— 7)*<(— 13)*. [8]
Si les deux membres sont de signes différents, on ne peut plus donner de règle. L'inégalité peut changer ou ne pas changer de sens, ou même se transformer en égalité. Ainsi l'on a :
7>-3 et 7»>(— 3)*,)
7>-.13 et 7*<(— 13)*,[ [9]
7>— 7 et 7*=(— 7)*. J
90tt. Principe IY. 1* Quels que soient les signes des deux membres
tune inégalUéf on peut en extraira une racine dHndke impair; car les deux racines ont le même signe que les deux nombres. Ainsi :
27 > 8 donne \f^>\/s, ou 3> 2, 1 27>— 8 « ^27>^=8, OU 3>— 2, > [10] — 8>— 27 » ^i:8>^^^^, OU— 2>~3. J
2" Si Findice est pairy il faut^ pour que les racines existent^ que les deux membres soient positifs (96). Et alors, chaque racine a deux valeurs égales et de signes contraires. Dans ce cas, f inégalité conservera son sens ou en changeraj selon que Fon considérera les valeurs positives ou les valeurs négatives des racines. Ainsi :
rinégalilé 36 > 25,
donne:! ^^> ^ °" '> ^' j [11]
f — V^<— V^25 OU — 6<— 5. j
Hais, si Von prend des signes différents pour les deux racines, le terne négatif est toujours le plus pelil. Ainsi
l'inégalité, 36 > 25,
donne: \>^>->/^l^ ^^ ^>-^' [ [123
\V^25> — v^36, OU 5> — 6.
S II. Principes sur les inégalités simultanées.
206. Principe Y. On peut additionner membre à fnembre deux inégalités de même sens : la nouvelle inégalité a le même sens que chacune déciles.
Soient, en effet, les deux inégalités :
elles équivalent aux suivantes :
a— 6>0, c—d>0; or la somme de deux quantités positives est positive; donc on a:
a— 6-fc— {f>0, ou a+c>b']-d. [13]
Hais cette nouvelle inégalité ne peut pas, comme lorsqu'il
s'agit d'équations, remplacer l'une des deux proposées. En d'autres termes, les deux systèmes,
c>dy { a+c>b + d,
ne sont pas équivalents. Le second est une conséquence du premier, mais le premier n'est pas une conséquence du second.
Si les deux inégalités sont de sens contraires, il n'y a pas de règle à donner. On a, en effet :
j3' } et 7 + 80 + I3;
et 7 + 8 = 3 + 12;
I' I et 7 + 8>3+10.
5É07. Principe VI. On peut soustraire membre à membre d'une inigaliti vm autre inégalité de sens contraire : la nouvelle inégalité subsiste dans le sens de la première.
Soient, en effet, les deux inégalités :
elles équivalent aux suivantes :
et, par suite (206), elles donnent
a+d>& + c, ou (208) a—c>b—d. [14]
Cette nouvelle inégalité ne peut pas remplacer l'une des deux proposées.
On ne peut pas soustraire une inégalité d'une autre, quand elles sont de même sens (206).
808. Principe VII. On peut multiplier membre à membre deux inégalités de mtm€ senSj quand tous les termes sont positifs : Vinéga* lité nouvelle est de mime sens que chacune délies.
En effet, soient: a>6, c>d;
puisque c et 6 sont positifs, on a, en multipliant la première par Cf et la seconde par b (203) :
ac^bCf 6c>M, cr, par suite, ac > bd. [15]
Si les quatre termes sont négatifs ^ rinêgaliti nouvelle est de sens contraire à celui des deux proposées. Car en multipliant la première par e et la seconde par b^ on a, puisque ces facteurs sont négatifs :
ac<Cbc, te<6i,
et, par suite, àc<ibd. [16]
La nouTelle inégalité [15] ou [16] ne peut pas remplacer une des proposées.
On ne saurait donner de règle générale, quand les termes ne sont pas tous positifs ou tous négatifs. On ne peut rien dire non plus, quand les inégalités sont de sens contraires.
209. Principe VIII. On peut diviser membre à membre une inégalité par une autre de sens contraire j quand tous les termes sont positifs : la nouvelle inégcUiti a le mime sens que la première.
Soient, en effet : a > ft , c<id; on peut écrire : « > &, rf > c.
et, par suite (208) , ad>bc\
d*où l'on tire, en divisant les deux membres par cd (203) :
r ti7]
Si les quatre termes sont négatifs ^ Finégalité nouvelle a le sens de la seconde : car, en faisant la multiplication, ou a (208} :
uid<bc; '
et, en divisant par cd, qui est positif, il vient ;
On ne pent pas donner de règle générale dans les autres cas.
S III. Des inégalités du premier degré à une inconnue.
210. RÉSOLUTION DE l'inégalité. Udc inégalité & une inconnue est dite dix premier degré ^ lorsqu'elle peut se ramener à la forme
a^ b, cfj Vf désignant des nombres donnés qui penyent être positifs ou négatifs.
Pour résoudre cette inégalité, on fait passer des termes contenant l'inconnue d'un côté , les termes connus de l'autre (209) ;
et Ton a :
Puis on distingue deux cas :
1*> Si (a — û!) est positif, on a, en divisant (203) par [a-^a') :
2" Si {a— a') est négatif, on a, au conlrmre (203) :
Ainsi, pour satisfaire à Vinégalité^ il suffit de prendre x supérieur ou inférieur à une certaine limite. On peut remarquer que cetle limite est précisément la valeur de Xj qui rendrait les deux membres égaux.
811. Problème. Nous résoudrons, comme application, le problème suivant : Deux points AetB sont situés à une dittance 2c ; on sait qu'un point U est M que MA + MB = 2a, a étant une longueur donnée, plus grande que c. On demande entre quelles limites peuvent varier AM et BM .
Supposons AM > BM. Posons : AM = x, BM = y. On a d'abord , diaprés
renoncé :
, » + y = 2a. [IJ
De plus, pour que le triangle AMB soit possible, il faut que chaque côté sott plus petit que la somme des deux autres, c'est-à-dire que l'on ait :
Or la première de ces inégalités est évidente, d'après l'équation [1] ; la seconde «st évidente, puisque y est plus petit que x. Reste donc la troisième ,
DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRE. ISl
5i ToD remplace y par sa valeur (2a — x), cette inégalité devient :
« < 2c 4- 2a — « ; d'où x<a+e, [3]
Mais y, qui est égal à (2a — x), est d'autant plus grand que x est plus petit. Donc y doit être plus grand que [2a — (a + c)], c'est-à-dire que (a — c). Ainsi:
Telles sont les limites cherchées.
EXERCICES
I. Démontrer que la moyenne arithmétique entre deux nombres positifs inégaux est plus grande que leur moyenne proportionnelle. On s'appuie sur Tinégalité, (a — 5)' > 0. n. Stant donnés deux nombres a, h, positifs, a > bf déduire de l'inégalité^
les limites entre lesquelles la valeur de x doit être comprise. Les radicaux sont pris arec Je signe +.
On trouve que s doit être négatif^ ou plus grand que v^ôH^
m. Démontrer que ^abed est comprise entre la plus grande et la plus
petite des quatre expressions ^a^ ^b ^ ^Cj^d»
On démontre cette propriété pour les logarithmes de ces expressions ; et l'on en tire la conséquence pour les expressions elles-mêmes.
