AF-D» ^4AF— D

selon que A serait positif ou négatif. Le polynôme aurait donc un minimum dans le premier cas, un maximum dans le second.

On étendrait aisément cette théorie au cas de plus de deux variables indépendantes.

Appliquons-la à Texemple suivant.

325. PEOBLÈm XVI. Trouver le minimum de Vexpression x' + y'+z^, <achaiU que x, y, z, sotU liés par la re^af ion,

iup+5y + ci=d. [1]

Posons : «• -»- y* + x*=-m.

Noos poufons éliminer une des variables^ i, par exemple. Car on tire de Té-

quation [1],

d—ax — hy

et par suite, ■*+y*+ (*~T~^) "*"•

ou (o'+O^'+îa'^^y + C^'+c^Jy*— 2«^— 25dy + <P— c»ni=0. ['2]

Eo résolvant Téquation [2] par rapport à y, on trouve, après quelques réductious :

b(d— ag)±cv/— (o»+b»4-c')g^+'2adg--d»-f(b»-fc')m r,,

Comme le coefficient de s^, dan; le trinôme placé sous le radical, est négatif, il faut choisir la valeur de m, de telle sorte que les racines de ce trinôme soient réelles; ce qui exige que Ton ait ;

a»d» + (a>+b» + c»)(— d'+(l^ + «Mw)>C,

ou — (^ + c')d'+(û' + l^+e'J(&*+c'/m>0,

ou, en divisant par (&*+ c'}, et transposant :

Si donc on peut donner à m la valeur

254 UVRfi IH.

ce sera la minimttm chercha. Or^ pour cel« valeuc de m,, le tnaonie, placé

sous le radical , devient :

Par suite, la valeur [3] de y s* écrit :

Elle n'est réeud que si Ton pose :

ad

et elle devient alors 9=

hd a^ + b'+c^'

cd

Par suite: '=^+6^ + c»

Ces valeurs sont admissibles; et, par conséquent, ce sont ceiies 911I lendent mi* nimum l'expression «* + y* 4- ^*»

I. Parmi tous les carrés que l'on peut inscrire dans un carré domiéy de nière que chaque côté contienne un sommet, quel est le plus petit ?

On trouve le carré qui a pour sommets les milieux des côtés du carré donné.

II. Inscrire dans un cercle, de rayon R, le triangle maximum.

On voit aisément que Ton n'a à comparer entre eux que les triangles isocèles; et, en appliquant le théorème (31£Qj on trouve, comme maximum, le triangle équilatéral.

III. On suppose qu'un triangle isocèle, inscrit dans un cercle, de rayon H, tourne autour de sa base : on demande le maximum du volume décrit.

On trouve, en appliquant le théorème (315), que la hauteur du triangle tour-

oaiit doit être égale à •^. Le volume manmiim est —

lY. Parmi tous les cônes droits de môme volume ? ntfi, quel est celui dont la

surface latérale estminimumS On applique le théorème (319); et Ton trouve pour la hauteur, y=av^2, et

pour le rayon de base, a?=zjp,

V. Parmi tous les cônes droits de même surface latérale ica", quel est celui dont le volume est maximum?

On applique le théorème (316)^ et Ton trouve que le rayon de base s= 7^,

et que la hauteur y =a i/ -p.

DES fiQUATIOKS DU SECOND DEGRË. 155

¥LrFKiiil'I« pcnUélipipèdQs reetangtes de m^me sorfiioe, quel est celai qui a le plus gvand felnmer; et parmi ceux de même Tolamei quel est celui dont la sor&ce est minmiam?

Le cube (application des thêordmes 818 et 810).

Vn. Quelle est la zone sphèrique, à une base; qui contient le plus grand toloxne parmi celles qui ont m6me surface na'; et quelle est la zone de plus petite surface', parmi celles qui contiennent le même Toluma ira*?

On applique le théorème (818) ; et Ton trouve que la hauteur et le rayon de

bifle de la ame de iroluiM mezirnuBv sont, l^m et raotre, égaux à — : le seg-

nat ^aTjmnm «si donc un hémisphère.

On trouve aussi un hémisphère pour le minimum (817).

Vni. Pinni- tous les cylindres de même volume Y, quel est celui qui est inscrit dans la plus petite sphémT En s'appuyant sur les formules du n* 310, et sur la remarque (818)^ on

. A V y' 3 trauTe^pB le rayon de la sphère minimum est égal à y . On en conclut,

poor le nyen de btae du cylindre, r = 1/ — p, et, pour la hauteur, h= t / — .

» IX. On donne une feuille de carton carrée ABGD dont le

côté est a, aux quatre coins de laquelle on supprime les carrés

égaux qui sont ombrée dans la figure ci-jointe. Déterminer le

côté de ces carrés, par la condition que la boUe, qui aurait pour

-^ fond mnpq et pour faces latérales les rectangles restants qui oat

tous même hauteur, ait un volume maximum.

et 2o'

On trouve que le cAté du carré ombré est -, et le volume maximum — .

X. On marque sur une droite des points équidistants , que Ton numérote ] , 2, 3,...n. Trouver, sur la droite, un point tel, que la somme des carrés de ses distances aux points donnés, multipliés par le numéro correspondant , soit un

Pour résoudra la question, il &ut savoir que la somme des n premiers nombres est égale à ^^ï±ii, U somme de kurs carrée i 1^^ et la

somme de leura cubes à !Li!Lt--L. Ea désignant par a la distance de deux

pointe eonaécutifs, et par x la distance du point cherché an premier point, on

exprime en s la somme indiquée, on applique la méthode (811), et l'on

trouve »=-(n— l)a,

XI. Même question, en supposant que les points soient numérotés Xf 3f Or 10,... !iiî±i^.

la mftma méthode conduit à «âs--(fs— |)a«

XII. Trouver le maiimum de Taire d'un triangle rectangle, sachant que la somme de Thypoténuse et de la hauteur correspondante est égale à a.

On trouve l'aire maximum égale à •^. L'hypoténuse est -^^ et la hauteur est -. Les deux cdtés de l'angle droit sont égaux à -^.

XIII. Parmi tous les triangles rectangles de môme périmètre 3p, quel est celui dans lequel la somme des deux côtés de Pangle droit et de la hauteur abaissée sur l'hypoténuse est maximum?

On trouve, en appliquant la méthode générale, que le triangle est isocèle, que

son hypoténuse est égale à2p(V2— l)f sa hauteur à p(V2—l}, et chaque

côté de l'angle droit à p (2— V^).

XIV. Inscrire, dans un cercle, de rayon r, un trapèze dont les côtés non parallèles soient égaux à a, et dont la surface soit maximum.

On trouve que le trapèze m^imum est un rectangle, dont les bases sont

égales à \^4r*— a*.

XV. Inscrire, dans une sphère, de rayon R, un cône dont la surface totale soit maximum.

On applique la méthode (321); et Ton trouve que la hauteur du cône est

égale à £(H^.

XVI. On circonscrit à une sphère, de rayon R, un tronc de pyramide régulière,, dont les bases sont des octogones réguliers. On demande le minimum du volume du tronc, lorsqu'on fait varier l'inclinaison a des faces latérales sur la grande base.

On trouve, pour expression du volume,

\ sin'a / '

dans le cas du minimum, a = ^, V=±l6(v^2 — i)r^

XVII. Une petite surface blanche est posée horizontalement sur une table, et éclaiirée par une lampe, dont la distance à cette surface, estimée par sa projection horizontale, est constante et égale à d. A quelle hauteur s doit se trouver la flamme, pour que la surface soit éclairée le plus possible?

On sait que l'intensité de la lumière, que re^it la surface, est proportionnelle au sinus de Tinclinaison des rayons, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare le peint lumineux de la surlace. Si l'on désigne par a l'inclinaison, on trouve, pour le cas du maximum, en appliquant la méthode (315) :

tanga = -7-; d'où «=— .

On construira la solution.

XVIII. Trouver la valeur minimum de ^^f^, quand a varie de 0* à 30*. En posant : tang a=^x, et en remplaçant tang 3a par sa valeur en x, on trouve,

en appliquant la méthode ordinaire (811), un maximum (17 — 12/i), qui ne cooTient pas, car il correspond à s = i/S + 1 ; puis un minimum (17 + 12 /f) qui oonrient, et qui correspond à 9 = /2 — 1> c'est-à-dire à a = f-

XIX. Deux corps, de oàasses m et m', animés, dans le même sens, de Titesses « etv', Tiennent à se choquer. Trouver la vitesse commune « qu'ils prendront après le chdc, sachant que la somme des produits obtenus en multip'iant chaque masse par le carré du changement de vitesse est la moindre possible.

La quantité à rendre minimum est un trinôme du second degré en • ; et, en ^^tiquant la règle (809), on trouve :

mv + mV

XX. Si Ton donne s + y = a, la règle (815), qui fournit le maximum de ff^y s'étend au cas où p et 9 sont fractionnaires.

Comme on peut toujours poser : p = ^ , q = ^ , il suffit de remarquer qu'alors 1^ = yfS?^,

XXI. Trouver le minimum de s^ + ^ , P et q étant entiers ou fractionnaires, et t étant positif.

Enposant^=y, ^=jv, on CrouTe (819 et XX), K=^; d*oùx= i/S.