CHAPITRE L

YE8 PnOGHEMimiS.

s 1. Des progressiotts'par dtfférence.

326. DiFiNiTiONS. Une prcgr$ssum arithmiUqtie ou par diffi^ rence est une suite de nombres tels que chacun d'eux surpasse celui qui le précède ou en est surpassé d*une quantité constante, qa*on appelle la raison de la progression.

Lorsque les termes vont en augmentant , la progression est iïie croissante; elle est (f^cromarUe quand ils vont en diminuant.

Pour indiquer que des nombres font partie d'une progression, on les écrit les uns à la suite des autres, en les séparant par un point, et en les faisant précéder du signe ^; ainsi les suites

^4d«45.42.39.d&.Âa.3û.^.«,

sont deux pit>gressîons par différence, Tune croissante, l'afutre décroissemle : les raisons sont respectivement 4 et 3.

On supprime ta distinclion que nous Tenons d'indiquer entre les processions croissante et décroissante, en cmvenartt que ^ rwon êst ï^esccès d^an terme sur h term» précédent. Si la progression est décroissante, cet excès est négatif. Par exemple, la ^conde des deux progressions indiquées a pour raison — 3.

En général , nous désignerons les termes d'une progression par dilEÊreBce par les lettres a, fr, c, . . « t, A, /,..•• , la raison positive ou négative par r, et le noml)re (^^i exprime le rang du terme l par n. Nous aurons :

Ta.b.c.d. •••{.%•/• ••• [1]

260 LIVRE lY.

327. Valeur du terme de rang n. D'après la définition , un terme, dans une progression croissante, se forme en ajoutant la raison au terme précédent. Le second est donc égal à a+r, le troisième à a+2r, le quatrième à a + 3r, .,.., le nr* k a 4- (n — I) r. Doncunferme de rang quelconque se formé en ajoutant au premier autant de fois la raison qu*il y a de termes avant celui que Von considère. C'est ce que l'on exprime par la formule :

Cette formule s'applique au cas où la progression est décroissante, pourvu que la lettre r représente un nombre négatif (586).

528. Corollaire. La formule [2], étant une relation entre les quatre nombres, a, I, r, n, permet de déterminer l'un d'eux, quand les trois autres sont donnés : il suffit de résoudre l'équation par rapport à la quantité inconnue. Elle fournit donc la solution de quatre problèmes faciles à énoncer, et dont les formules sont :

l—a ,.^~^' ! ra

r = -, ri = IH . \

529. Insertion de moyens arithmétiques. Insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres donnés a et 6, c'est former une progression, dont a et 6 soient les termes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.

Il suffit évidemment, pour résoudre cette question, de trouver la raison de la progression; car, en l'ajoutant au premier terme, on aura le second; en l'ajoutant au second, on aura le troisième; et ainsi de suite. Or on connaît, dans la progression cherchée, le premier terme a, le dernier 6, et le nombre des termes (m -|- 2). On appliquera donc la formule [2], qui donnera ;

38 — 5 SzKKPLB. Insérer 10 moyens entre 5 et 38. La raison est : r=: ■ ou 3 ;

et la progression cherchée est :

S30. Problème. Déiefininer la ccmdUionpMr que trois nombres donnés j a, b, c, fassent partie iune mime progression.

Supposons ces nombres rangés par ordre de grandeur : ils seront séparés, dans la progression inconnue , par des termes intermédiaires^ qui pourront être considérés comme des moyens insérés entre a et b^ et entre b et c. Par suite, si l'on désigne ces nombres de moyens par (m — 1) et par (n— 1), la raison devra

être égale (329) à -^^^ et à -^^^ ; on devra donc avoir :

(Test la condition cherchée; il faudra qu'il existe deux nombres entiers^ m el n, proportionnds aux différences (b — a) et (c — b). Cette condition est toujours remplie, quand les nombres a, b, c, sont commensurables : car, si les nombres (b^a) et (c— 6} sont fractionnaires, il suffira de les réduire au même dénominateur, et de prendre m et n égaux aux numérateurs. En multipliant les deux résultats par un même nombre entier quelconque, on aura d'autres valeurs pour m et n; de sorte que le problème a, dans ce cas, une infinité de solutions.

33 1 . Théorème. Si Von insère^ entre les termes consécutifs d'une progression [1], pris deux à deux, un mime nombre m de moyens ariihmétiqueSj on obtient une progression unique, dont la raison est le quotient de la division de la raison primitive par (m -j- !}•

En effet, les raisons des diverses progressions partielles sont (389) :

elles sont donc toutes égales à — ^-y (326). D'ailleurs le dernier terme de chacune est le premier de la suivante. On peut donc les considérer comme n'en faisant qu'une seule.

332. Théorème, dans toute progression limitée, la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.

Soit, en effet, la progression :

ia.b.c.d....i.kJ]

le second terme b est égal à a.+ r, et l'avaut-d^nier k est égal à /— r; donc leur somme b+k^za-^-L

En général, le terme x^ qui en a p avant.lui, est égal (327) à a.+pvy et le terme y, qui en a p après lui,, est. égal à l—pr; donc leur sommtt a; -f* y est égale ka-^U