SOMMB DES TERMES dVnE PROGRESSION^ DéStgDODS par
s la somme des termes de la progression qui commence par a, qui finit par {,. et dont n. est le nombne des termes. On a :
On n'altère pas cette somme en renversant les termes ; si on les écrit de manière que les termes à égale distance des extrêmes se correspondent verticalement dans les deux lignes, on a :
Qu'on scoute maintenant les termes de ces deux, suites par colonnes verticales, et Ton aura :
Mais toutes les sommûs, renfermées entre parenthèses,, sont égales (352) à (a -f 0 ; d'ailleurs leur nombre est celui des terme» delà progresuon. On a donc:
d'où Ton déduit : S =iî±i)!i. [ej
La somme des termes aune progression par différence est la moitU du produit de la somm^ des extrêmes par le nombre des termes.
Exemple. La somme des 12 termes de U progression (320) est ou 268.
Rbmarqub. Si Ton ne connaissait qne le premier terme a, la raison r, elle nombre n des termes, il fiiudrait, pour appliquer la fornwle précédente,, commencer par calculer le dernier terme 2,. à l'aide de la formule [2]. En subfitituaut sa valeur dans la formule [6], on a:
PROGRESSIONfr BI^ LOGARITHMES. S6&
AppMCATjrwft. 1? Xroufsr.laLSQzxune des n^ptemiers nombiea entîeu,
Gonmis U» fbimeiit une progrumoiii dont Ittraison' est l„lair flommeiat ;
s=ii±=L". -ou s=îi(itii. m
Donc, pour avoir laiommê da n premUn wmtrei euUergi on multiplie U éemier par celui qui le suivrait immédiatement, et Van diviit le produit par 2. 2* TrouTer la somme des n premiers nombres impairs,
Us forment une progression dont la raison est2; en appliquant laformule [7] on«:
Ainsi la tomme desn premiers nombres impairs est égale au carré de n.
885. PBOBLévES. Les formules [2] et [6J fournissent deux relations entre les quantités «).i>.r, n^,, S, relations, qui permettent da déterminer deux de oes quantiiés, quand les trois autres sont données. De là dix problèmes à résoudre :
1* Étant donnés a, {,. r, déterminer n, S
» ly. r
Parmi ces problèmes, le cinquième et le buitiôme sont du second degré ; les huit autrei sont du premier degré.
S n. Des progressions par quotient.
556. DÉFINITIONS. Une progression géomitrique ou par quo^ tim^ est une suite de nombres, dont chacun est égal au précédent multipliérpar un nombre constant que Ton nomme la raison de la progression.
LoFflqae la' raisevest pibs grande que* runitê'. Tes termes yont en croissant, la progression est croissante; lorsque la raison est moindre qpe Funité,, les tenues vont ea diminuant, et. la. progression, est décroissante..
a; ly.n,
0$ r,.Sj.
864 LIVRE nr.
Pour indiquer que des nombres font partie d*une progression par quotient 9 on les écrit à la suite les uns des autres,eDles séparant par deux points, et en les faisant précéder du signe H-
Exemples. Les suites :
sont deux progressions par quotient, l'une croissante et Tautre décroissante ; les raisons sont 3 et ^.
En général, nous désignerons les termes d'une progression par quotient par a, 6, c, d, . . . . , », fc, i, . . . • , la raison par q^ et le rang du terme l par n. Nous aurons :
557. Valeur du terbie de rang n. D'après la définition» un terme d'une progression par quotient se forme en multipliant le précédent par la raison. Le second est donc égal à aq^ le troisième à aq^j le quatrième à 09', . . . • , le n"* à 09*-^ Donc un terme de rang quelconque est égal au premier muUiplié par une puissance de la raison^ dont Fexposant est égal au nombre des ter-mes qui précède celui que Von considère. C'est ce qu'exprime la formule :
| = aç-*. [2]
558. Corollaire. La formule [2], étant une relation entre les quatre nombres, a, I, q, n, permet de déterminer l'un d'eux, quand les trois autres sont donnés. On trouve aisément, en résolvant l'équation [2] par rapport à chacune des quatre quantités successivement :
l = aq^*, a = ^^^.
loff / — Injra '
La. dernière formule suppose connues les propriétés fondamentales des logarithmes (56$ et suiv.}.
559. Théorâiie. Si une progression est croissante^ on peut la prolonger assez ^ pour que ses termes dépassent toute limite donnée.
En effet, si Ton considère les trois termes consécutifs i, k, l de la progression [1], on a, par définition.
k = iq, l = kq\
et, par soustraction , i — ^ = (/c — i)q.
Or la raison q est supérieure à Tunlté ; donc la différence {l — h) est plus grande que la différence {k — i). L'excès d*un terme sur le précédent va donc en croissant. Or, si cet excès restait constant, comme dans la progression par différence, on pourrait, en l'ajoutant au premier terme a, un nombre suffisant de fois, obtenir un résultat aussi grand qu'on le voudrait. Il en sera donc de même, a fortiori^ si, comme nous l'avons reconnu, cet excès va en augmentant.
340. Théorème. Si une progression est décroissante^ on peut la prolonger assez, pour que ses termes décroisses au-dessous de toute limite.
En effet, si la progression [1] a une raison q inférieure à
l'unité, les termes -, r, -, .•- t, t, r, .... forment une autre
progression par quotient, dont la raison - est supérieure à Tunilé, puisque, des égalités
ondéduit - = -x-;, -==^x-, -5=-x-,..,.
Il résulte donc, du théorème précédent, que les fractions "-> Zf l> peuvent devenir aussi grandes que l'on voudra, et par
suite, leurs dénominateurs t, A, l, peuvent devenir aussi petits que l'on voudra. C'est ce qu'il fallait démontrer.
341. Insertion de moyens géométriques. Insérer m moyens géométriques entre deux nombres donnés a et 6, c'est former une progression par quotient, dont a et 6 soient les termes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.
Il suffit évidemment, pour résoudre cette question, de trouver la raison de la progression : car, en multipliant le premier terme
par la raison, oaaura le second ; en moltipliant le second par la raison» on aura le troiaiôme^ et amsi de suite. Or^ on cannait,, dans cette progression , le premier terme a, le dernier 6, et le nombre des termes (m 4- 2). On appliquera donc la formule [2], qui donnera :
EzBMPLE. Insérer 3 moyens entre 7 et 112. La. raison est :
q^ y — ou 25'
et la progression cberciiée est :
542. THÉORÈSiE. Si Von insère y entre les termes consécutifs cPune progression par quotient j pris deux à deux, un mime nombre m de moyens par quotient, on obtient une progression unique, dont la raison est la racine, d^indice (m + 1)» de la raison primitive.
En efibt, les raisons des diverses progressions partielles sont:
^Tb -*yc "^'/rf Vâ> Vb^ V?--
elles sont donc toutes égales à "V^» D'ailleurs le dernier terme de chacune est le premier de la suivante. On peut donc les considérer comme n'en faisant qu'une seule.
545. Problème. Déterminer la condition^ pour que tnd&'.nam^ bres, a, b, c, fassent partie d'une même progression.
SU en. considérant, a. comme étant le: premier terme, on désigne par (m-f-l) et par (n-f- 1) les rangs inconnus de b et de 0, on a (357):
b:=^ia^, c =aq%
q étant la raison inconnue. Si l'on élèye la première équation à^ la puissance n,. et la seconde à la puissance m^ on aura;
d'od , en éliminant q :
G'eatila condition cherchée. Cette condition se, simplifie^ si L'on
PROGRESSIONS ET LOGARITUUES. 2G7
suppose que a^b^c somii commeusurables; car alors^ en ï*é-
b c duisant les rapports - et - & leur plus simple ezpresiwoii, et en
Q k désignant par r et -? les fractions irréductibles équivalentes ,
on a:
Or, ces fraclionSy étant aussi irréductibles, ne peuvent être égales, que si Ton a :
ce qui exige, d'une part, que g elk soient composés des mêmes fact^irspremicrst ainsi que /i et /; et, d'autre part, que les exposants d'un même facteur, dans g et h^ et dans h et /, soient
dans un rapport constant ~. Si ces conditions sont remplies,
elles déterminent le rapport — . Mais elles laissent m et n indéterminés; de sorte que a, b^ e peuvent faire partie d'une infinité de progressions.
SMb Afpucatioii. Quêli umt lês nombreà commemurablu qui peuvent faire partie d'une progression par quotiefUj ayant pour termes l et lOt
Désignons par - Tan des nombres dierchés ; on doit avoir, d'après ce qui précède:
nW, eu ^=1«*,
m et n étant des nombres entiers. Or le second membre étant entier, le premier doit l'être aussi : et comme ^ est irréductible, par hypotbèse, il faut q^ue Ton
&it : q= 1, et, par suite, p"= 10". Mais pour que cette dernière égalité ait lieu, il laot que }^ ne. coalieiuiei <pia les facteuBS premiers 2 et »de 10, c'est-àdire que Toa ait : p = 2«x5^ il faut donc que 2*"X5P*=2"X5", et que,
par conséquent, am=6in = n. Il faut donc quea = p=^ — .. Aiosi leserpo-
sants de 2 et de 5, dans p, doivent être égaux; ou, en d'autres termes, |; ddt être une puissance de 10.
Tjte puissance» de 10 Ront dbnc les' seuls nombre» commenvurableB qui pui»* sent figurer dans une progression par quotient, dont 1 et 10 font partie.
