RÈGLE DE MULTIPLICATION. Soit à multiplier le polynôme

par le monôme m (a, b, c, d, sont des monômes quelconques). Nous distinguons plusieurs cas, pour plus de clarté.

1° m est entier. L'opération revient alors à faire l'addition de m polynômes égaux à P :

Pm=(a— 6 + c— rf) + (a-6 + c— 6/)+(a— 6 + c— rf)+...;

mais, d'après la règle d'addition (21), cette formule équivaut à

Pm:=am — bm-{-cm — dm.

Ainsi chaque terme du multiplicande est multiplié par le multiplicateur, et conserve son signe.

2° m est fractionnaire de la forme -(p étant entier). L'opération revient alors, comme on le sait, à prendre la p*"' partie du multiplicande ; et le résultat est :

„ a b . c d, Vm= ;

P P P P car c'est bien là l'expression qui, multipliée par p, d'après la règle (1°), reproduit le multiplicande (a — 6-j-c — t?}. D'ailleurs cette formule peut s'écrire :

Pm=aX bX-+cX — ^X-'

ou * Vm=am — bm-\-cm — dm,

comme dans le premier cas.

3® m est fractionnaire de la forme -. Pour effectuer le produit, il faut, dans ce cas, répéter p fois la q"" partie du multiplicande. Or, d'après le second cas, le multiplicande divisé par q devient :

ax 6X- +cX ^X-,

et le produit de ce résultat par p est :

car multiplier par p la g*"' partie d'un nombre, c'est multiplier

ce nombre par-. Donc, dans ce cas, le produit est encore :

Pm=: am — bm-\-cm — dm.

Ainsi, dans tous les cas, pour multiplier un polynôme par un monôme, on multiplie séparément par le monôme chaque terme du polynôme, en lui conservant le signe qu'il avait primitivement.

Gomme on peut intervertir l'ordre des facteurs, qui représentent toujours des nombres (28), la même règle permettra de multiplier un monôme par un polynôme. Ainsi les produits (3a*6 — ba'b^ + 6abc^^ kb'c) X ^ab\ 5a&2 X (3a''5— ba^b^ + Qabc^ —-kb^c), sont équivalents à lôa^^^— 25a*5*+30a'6V— 20a&*c.

51. Mettre un monôme en facteur. La formule que nous venons de démontrer,

(a — b-{-c — d)m=am — bm-\-cm — dm prouve que, si les termes d'un polynôme {am — bm-^-cm — dm) renferment un facteur commun m, on peut le supprimer dans chacun d'eux, ce qui donne l'expression (a — b-{-c—d), et multiplier le résultat parw, c'est-à-dire écrire {a — b-\-c—d)m. C'est ce qu'on appelle mettre un monôme en facteur. Ainsi les ternies du polynôme 12aV— 8a V-[-16aV contiennent 4aV comme facteur commun. On peut donc écrire

12aV— 8a^a;2 + 16aV=(3aa;-— 2a»+4rr^)X4a«ic^ § III. Multiplication d'un polynôme par un polynôme.

52. Cas ou les deux polynômes ne contiennent que des TERMES SÉPARÉS PAR LE SIGNE -f-. Soit à multiplier le polynôme P = a+^+c par le polynôme Q=p+q+r;a, 5, c, p, q, r désignant des nombres quelconques, qui peuvent eux-mêmes être représentés par des expressions algébriques plus ou moins compliquées. On a, d'après la règle du n° 50 :

PQ=:z.p(p+ç+r)=Pp+Pg+Pr, ou V(:ï = {a+b+c)p+{a+b-{-c)q+{a-\-b + c)r.

Appliquant encore la règle (50) à cliùcim des produits, on a :

^Q = ap-\-bp-\-cp-{-aq-\-bq'^cq-\-ar-{- 6r+cr, résultat qu'on peut énoncer ainsi :

Le produit de deux polynômes, dont les termes sont positifs, est un polynôme égal à la somme des produits qu'on obtient en multipliant tous les termes du premier par chacun des termes du second,

55. Cas, ou les deux polynômes contiennent des termes PRÉCÉDÉS DU SIGNE — . On peut toujours former un groupe de l'ensemble des termes qui, dans le multiplicande, sont précédés du sigue +, et un autre groupe de l'ensemble des termes qui sont précédés du signe — (lo, 2°). Nommons ces deux groupes A et B. Désignons par G et D les sommes analogues dans le multiplicateur. Les deux facteurs sont alors :

On a, en appliquant la règle (50) :

PQ = P(G— D) = PG— PD=(A — B)C — (A'-B)D. Appliquant la même règle à chacun des produits partiels, on a :

PQ = (AG — BG) — (AD — BD), ou, d'après la règle de soustraction des polynômes (22), PQ = AG— BG— AD + BD.

D'ailleurs AG, BG, AD, BD, sont des produits de polynômes à termes positifs : on les effectuera d'après la règle du n° 52 ; puis on fera les additions et les soustractions indiquées par les signes On obtiendra ainsi un polynôme unique, qui sera le produit demandé. Le produit de deux polynômes peut donc toujours être remplacé par un polynôme unique, que l'on nomme souvent leur produit effectué,

54. Règle de multiplication de deux polynoivies. Si l'on examine comment le produit PQ est composé avec les termes qui entrent dans les deux facteurs, on remarque d'abord qu'il contient les produits de chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur. Quant anx signes qu'il faut donner à chaque terme du produit, on voit que tous les termes du produit partiel AG ont le sigpe +, et qu'ils sont fournis par des termes qui ont le signe + dans les deux facteurs ; que, de même, tous les termes du produit BD ont le signe +,

mais qu'ils sont fournis par aes termes qui ont iS signe — dans les deux facteurs ; qu'au contraire, les termes des deux produits BG et AD sont précédés du signe — , et qu'ils sont fournis par des termes qui ont des signes différents dans les deux facteurs.

On conclut de là la règle suivante :

Pour multiplier un polynôme par un autre, on multiplie chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur; on affecte du signe -{- chacun des termes qui, dans le produit, proviennent de la multiplication de deux termes affectés tous deux du signe -\-, ou tous deux du signe — ; et l'on affecte du signe — chacun de ceux qui proviennent de la multiplication de deux termes affectés de signes différents. Puis on opère, sHl y a lieu, la réduction des termes semblables.

Cette règle des signes se traduit par le tableau suivant :

-{-aX-\-b = + ab,

— aX-\-b = — ab,